Ile liczb pięciocyfrowych w których jednocześnie suma cyfr i iloczyn cyfr jest taki sam?

Permutacje. Kombinacje. Wariacje. Rozmieszczanie kul w urnach. Silnie i symbole Newtona. Przeliczanie zbiorów. Funkcje tworzące. Teoria grafów.
Oliwka02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 2 paź 2022, o 11:53
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Ile liczb pięciocyfrowych w których jednocześnie suma cyfr i iloczyn cyfr jest taki sam?

Post autor: Oliwka02 »

Zadanie brzmi następująco: Ile jest liczb pięciocyfrowych w których suma cyfr i iloczyn tych cyfr jest taki sam?

Nie wiem dokładnie jak podejść do takiego zadania.

Pomyślałam sobie że np. liczba 52111 spełnia warunek zadania. Jest ich na pewo więcej i oczywiście trzeba obliczyć ich permutacje co nie jest już trudnym zadaniem.

Pytanie jest czy istnieje jakiś sprytny sposób na znaleźienie takiej piątki cyfr która spełnia warunek zadania czy może jakiś inny sposób na obliczenie tego?

Pozdrawiam!:)
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Ile liczb pięciocyfrowych w których jednocześnie suma cyfr i iloczyn cyfr jest taki sam?

Post autor: Jan Kraszewski »

Ja bym zaczął badanie od sprawdzenia, jaką liczbą ta suma/iloczyn mogą być.

JK
Oliwka02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 2 paź 2022, o 11:53
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Re: Ile liczb pięciocyfrowych w których jednocześnie suma cyfr i iloczyn cyfr jest taki sam?

Post autor: Oliwka02 »

Rozumiem. Lecz zastanawiałam się czy istnieje jakiś sprytniejszy czy szybszy sposób na takie zadanie. Mam na myśli nie sprawdzając ale obliczając ile takich liczb będzie. Może coś z matematyki dyskretnej? Zastanawiałam się nad zliczaniem ilości podziałów liczb na 5 składników czy coś rozwinąc w szereg lecz nie wiem co w tedy zrobic z iloczynem.
Np. zadanie nr. 4368082 (sposób II) ze strony "zadania info" obeszło się bez skomplikowanego wzoru na ilość składnikow liczby.

Starałam się znaleźć takie liczby lecz okazało się że to może być dosyć żmudnym zadaniem. Np te liczby (permutacja tej liczby) też spełniają warunek: 33111. Oczywiście można wpisać to w mathematica lub matlab i znaleźć wszystkie bez trudu.

To powiada pan że nie ma innego sposobu niż sprawdzania ręcznie?

Jeśli nie ma to może jest możliwość obliczenia ile takich par będzie? Ponieważ próbując łatwo można przeoczyć jakąś pare. Przydatne byłoby wiedzieć chociaż ile takich jest.
Ostatnio zmieniony 2 paź 2022, o 13:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Oliwka02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 2 paź 2022, o 11:53
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Re: Ile liczb pięciocyfrowych w których jednocześnie suma cyfr i iloczyn cyfr jest taki sam?

Post autor: Oliwka02 »

Jan Kraszewski pisze: 2 paź 2022, o 12:14 Ja bym zaczął badanie od sprawdzenia, jaką liczbą ta suma/iloczyn mogą być.

JK
Na przykład ile jest takich 10 - cyfrowych liczb? Wypisywanie już chyba stałoby się o wiele trudniejsze.
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Ile liczb pięciocyfrowych w których jednocześnie suma cyfr i iloczyn cyfr jest taki sam?

Post autor: Jan Kraszewski »

Oliwka02 pisze: 2 paź 2022, o 12:47Starałam się znaleźć takie liczby lecz okazało się że to może być dosyć żmudnym zadaniem.
Co to znaczy "żmudnym"? Jak zmieścisz się w godzinie, to nie jest to żadne żmudne zadanie.
Oliwka02 pisze: 2 paź 2022, o 12:47To powiada pan że nie ma innego sposobu niż sprawdzania ręcznie?

Jeśli nie ma to może jest możliwość obliczenia ile takich par będzie?
Matematyka to nie jest zbiór zaklęć. Ja nie wiem, jaka jest odpowiedź do tego zadania, ale wiem, w jaki sposób tej odpowiedzi bym szukał (i to mi zupełnie wystarcza).

To tak, jakbyś dostała w rękę łopatę i zadanie "wykop rów". Możesz zacząć ten rów kopać, przy okazji zastanawiając się, jak to zrobić najefektywniej. Możesz też stanąć z łopatą w ręce i zacząć się zastanawiać: "przy kopaniu rowu chyba się zmęczę", "dobrze byłoby wiedzieć, ile czasu zajmie mi kopanie tego rowu" itd. W tej drugiej sytuacji zmęczysz się niewątpliwie mniej, ale - niestety - nie wykopiesz rowu...
Oliwka02 pisze: 2 paź 2022, o 12:47Ponieważ próbując łatwo można przeoczyć jakąś pare.
No to trzeba robić to uważnie, próbując np. znaleźć algorytm przeszukiwania, który zapewnia, że niczego nie pominiemy (i nie powtórzymy).

Jest też możliwość, że się pomylisz. Wtedy - jak poznasz poprawną odpowiedź - będziesz mogła wrócić do swojego rozwiązania i zrozumieć swój błąd. To też jest rozwijające (ale tylko pod warunkiem, że będziesz to zadanie wcześniej rozwiązywać).
Oliwka02 pisze: 2 paź 2022, o 12:49Na przykład ile jest takich 10 - cyfrowych liczb? Wypisywanie już chyba stałoby się o wiele trudniejsze.
Niewątpliwie. Choć może rozwiązawszy to zadanie dla liczb pięciocyfrowych będziesz już miała narzędzia, które to zadanie usprawnią.

Nie wykluczam też, że istnieje sprytne, krótsze rozwiązanie tego zadania. Ale ja go nie znam - nie powoduje to jednak, że nie będę potrafił rozwiązać tego zadania (i - być może - w czasie rozwiązywania zauważę jakąś prawidłowość, którą będę potrafił "wypreparować" i na jej podstawie znaleźć inne, mniej pracochłone rozwiązanie).

JK
Oliwka02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 2 paź 2022, o 11:53
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Re: Ile liczb pięciocyfrowych w których jednocześnie suma cyfr i iloczyn cyfr jest taki sam?

Post autor: Oliwka02 »

Jan Kraszewski pisze: 2 paź 2022, o 14:02 Niewątpliwie. Choć może rozwiązawszy to zadanie dla liczb pięciocyfrowych będziesz już miała narzędzia, które to zadanie usprawnią.

Nie wykluczam też, że istnieje sprytne, krótsze rozwiązanie tego zadania. Ale ja go nie znam - nie powoduje to jednak, że nie będę potrafił rozwiązać tego zadania (i - być może - w czasie rozwiązywania zauważę jakąś prawidłowość, którą będę potrafił "wypreparować" i na jej podstawie znaleźć inne, mniej pracochłone rozwiązanie).
Ok a wiec mam roziwązanie. Pary to są \(\displaystyle{ 22211, 11133, 11152}\) więcej nie ma. Wtedy wszystkich takich liczb mamy: \(\displaystyle{ {5 \choose 2}+{5 \choose 2}+\frac{5!}{3!}=40 }\)

Istotnie zajęło mi to około godziny. Mathematica daje też jako wynik 40.

Troszkę pokombinowałam i w przypadku 5 cyfrowej liczby zauważyłam ze albo liczba ma postać 1: \(\displaystyle{ aaabb}\) lub 2: \(\displaystyle{ aaabc}\).

Do 1:
ustawiamy równanie następująco:
\(\displaystyle{ a^{2} b^{3} = 2a+3b}\)
\(\displaystyle{ a^{2} b^{3}-2a+3b=0}\)
Widzimy ze to funkcja kwadratowa i wyliczamy a1 i a2. Korzystamy tylko z jednego rozwiązania poniewarz drugie dajw nam ułamki lub ujemne wartośći.

\(\displaystyle{ a_{1}= \frac{1+ \sqrt{3b ^{4}+1 } }{b^3} }\)

Wstawiamy to dego równania cyfry od 1-9.

Do 2:
Ustawiamy równanie \(\displaystyle{ a^3bc=3a+b+c}\)
\(\displaystyle{ a^3bc-3a-b-c}\)
I znowu rozwiązujemy. Wstawiłam tym razem 1 za a. I wyszly mi dwie możliwośći dodatnie dla a i b. 2 i 5.

Ogólnie wyszłam z założenia ze w 2 przypadku dla a musi być 1 lecz nie umiem tego uzasadnić. Chyba można jakos uzasadnić tym ze funkcja wykłasnicza \(\displaystyle{ a^{k} }\) rośnie szybciej niż liniowa u dlatego jedynki?

A co do pytania ile możliwośći mamy z 10 cyfrową liczbą to nie wpadłam na przydatne rozwiązanie "szybkie".
Oliwka02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 2 paź 2022, o 11:53
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Re: Ile liczb pięciocyfrowych w których jednocześnie suma cyfr i iloczyn cyfr jest taki sam?

Post autor: Oliwka02 »

Trzeba by jeszcze jakoś udowodnić że od pewnego momentu iloczyn przekracza sume. Np. Nie mogą byc 5 różnych cyfr. Mogą być maksymalnje 3 zóżne (w przypadku liczby 5 cyfrowej).

Tylko od ilu różnych cyfr tak będzie?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ile liczb pięciocyfrowych w których jednocześnie suma cyfr i iloczyn cyfr jest taki sam?

Post autor: a4karo »

Pomocne mogą być dwa fakty:
- wystarczy rozpatrywać liczby, których cyfry nie maleją
- jeżeli dla pewnej liczby suma cyfr jest mniejsza niż iloczyn, to tak samo jest dla każdej liczby, której cyfry nie sa mniejsze.
Oliwka02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 2 paź 2022, o 11:53
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Re: Ile liczb pięciocyfrowych w których jednocześnie suma cyfr i iloczyn cyfr jest taki sam?

Post autor: Oliwka02 »

Dziękuje za odpowiedz!:)
Niestety nie rozumiem pojęcia liczb w ktorej cyfry nie maleją. Czy wtedy liczba nie musiałaby się składać tylko z tych samych cyfr? Jeśli składa się z dwóch różnych cyfr to jedna cyfra będzie większa od drugiej, a wiec cyfry będą malejące?

Drugi punkt chyba rozumiem ale dlaczego tak jest?
Oraz np. 11152 ma większe cyfry od 11133 i jednocześnie jest iloczyn i suma w dwóch tych liczbach równy a nie mniejszy lub wiekszy od sumy/iloczynu.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ile liczb pięciocyfrowych w których jednocześnie suma cyfr i iloczyn cyfr jest taki sam?

Post autor: a4karo »

Dla liczb `12345` i `32541` suma i iloczyn cyfr są takie same, ale w pierwszej cyfry nie maleją. To pozwala ograniczyć ilośc rozpartywanych przypadków.

Co do drugiego, to zauważ że pisałem o liczbach, w których suma cyfr jest mniejsza niż iloczyn. To powoduje, że jak stwierdzisz tę własność w liczbie
`11134`, to możesz sobie odpuścic badanie liczb `11234`, `11135` etc.
Oliwka02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 2 paź 2022, o 11:53
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Re: Ile liczb pięciocyfrowych w których jednocześnie suma cyfr i iloczyn cyfr jest taki sam?

Post autor: Oliwka02 »

Ah okej teraz zrozumiałam co Miałeś na mysli. Ale nie rozumiem dlaczego to fakt. Czemu to jest prawda
a4karo pisze: 2 paź 2022, o 18:25 jeżeli dla pewnej liczby suma cyfr jest mniejsza niż iloczyn, to tak samo jest dla każdej liczby, której cyfry nie sa mniejsze
? Z czego to wynika?
a4karo pisze: 2 paź 2022, o 18:25 - wystarczy rozpatrywać liczby, których cyfry nie maleją
Ale czy to nie jest obojętne? Przecież szukamy zbiory takich liczb, których suma i iloczyn jest taki sam a 12345 i 32541 to "to samo" czyli permutacja zbioru którą się zajęłam po znalezieniu takich piątek właściwych. Jak ma to pomóc?
Ostatnio zmieniony 2 paź 2022, o 20:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ile liczb pięciocyfrowych w których jednocześnie suma cyfr i iloczyn cyfr jest taki sam?

Post autor: a4karo »

Spróbuj sobie to udowodnić. To proste. Zacznij od przypadku, gdy liczby różnią się jedną cyfrą
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34125
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Ile liczb pięciocyfrowych w których jednocześnie suma cyfr i iloczyn cyfr jest taki sam?

Post autor: Jan Kraszewski »

Oliwka02 pisze: 2 paź 2022, o 19:32Ale czy to nie jest obojętne? Przecież szukamy zbiory takich liczb, których suma i iloczyn jest taki sam a 12345 i 32541 to "to samo" czyli permutacja zbioru którą się zajęłam po znalezieniu takich piątek właściwych. Jak ma to pomóc?
Przed chwilą martwiłaś się, żeby nie przegapić jakiejś możliwości, a ja zaproponowałem wymyślenie algorytmu przeszukiwania przypadków, który Cię przed tym uchroni. a4karo doprecyzował pomysł na ten algorytm.

JK
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Ile liczb pięciocyfrowych w których jednocześnie suma cyfr i iloczyn cyfr jest taki sam?

Post autor: a4karo »

A jak już to sobie udowodnisz, to skorzystaj z tego, żeby sprawdzić czy może być rozwiązanie bez jedynek? z jedną jedynką? Jakie sa możliwości, gdy jedynek są dwie, trzy, cztery?
Oliwka02
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14
Rejestracja: 2 paź 2022, o 11:53
Płeć: Kobieta
wiek: 19
Podziękował: 1 raz

Re: Ile liczb pięciocyfrowych w których jednocześnie suma cyfr i iloczyn cyfr jest taki sam?

Post autor: Oliwka02 »

a4karo pisze: 2 paź 2022, o 18:25 - wystarczy rozpatrywać liczby, których cyfry nie maleją
Teraz to rozumiem. Chodzi aby nie "przegapić" jakiejś liczby, a więc jakoś systematycznie to dego podjeść?
a4karo pisze: 2 paź 2022, o 18:25 - jeżeli dla pewnej liczby suma cyfr jest mniejsza niż iloczyn, to tak samo jest dla każdej liczby, której cyfry nie sa mniejsze.
A co do tego dowodu do ciągle nie jestem pewna :(
Widze że tak muśi być, poniewarz popróbowałam ale nie wiem jak zapisać formalnie dowód.
Czy to ma coś wspólnego że iloczyn jakichkolwiek liczb zawsze będzie większy od jego sumy? Oprócz w wypadku gdy chodzi o dwójke w tym przypadku: \(\displaystyle{ a^{2} = 2a}\). Te równanie w liczbach całkowitych tylko zachodzi dla \(\displaystyle{ 2}\).
ODPOWIEDZ