Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 30

Maradona126 · Post autor: **Maradona126** » 14 kwie 2021, o 15:55

Cześć,

Potrzebuje odpowiedzi a najlepiej rozwiązania jeśli mój wynik 1246 jest nieprawidłowy.

Zadanie:
Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 30.

Za pomoc BARDZO DZIĘKUJĘ

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 14 kwie 2021, o 16:45

A jak to robiłeś? Moim zdaniem nie ma takich liczb zbyt dużo (tak na oko). Skoro mają to być liczby naturalne mniejsze niż \(\displaystyle{ 10000}\) to są to po prostu liczby cztero cyfrowe. Oczywiście jakby jakaś cyfr była zerem to już nie ma seans aby cyfry sumowały się do \(\displaystyle{ 30}\), a nawet jeśli jakaś cyfra jest jedynką lub dwójką to już odpada. Więc mamy tylko liczby cztero cyfrowe w których cyframi są elementy \(\displaystyle{ \left\{ 3,...,9\right\} }\). Można więc zliczyć ile jest rozwiązań równania \(\displaystyle{ a_1+a_2+a_3+a_4=30}\) w liczbach \(\displaystyle{ \left\{ 3,...,9\right\} }\). A to bez funkcji tworzących wydaje się raczej żmudne. Z funkcjami tworzącymi sprawdzamy czym jest \(\displaystyle{ \left[ x^{30}\right]\left( x^3+x^4+...+x^9\right)^4=84 }\).

Maradona126 · Post autor: **Maradona126** » 14 kwie 2021, o 17:00

Janusz Tracz pisze: 14 kwie 2021, o 16:45 A jak to robiłeś? Moim zdaniem nie ma takich liczb zbyt dużo (tak na oko). Skoro mają to być liczby naturalne mniejsze niż \(\displaystyle{ 10000}\) to są to po prostu liczby cztero cyfrowe. Oczywiście jakby jakaś cyfr była zerem to już nie ma seans aby cyfry sumowały się do \(\displaystyle{ 30}\), a nawet jeśli jakaś cyfra jest jedynką lub dwójką to już odpada. Więc mamy tylko liczby cztero cyfrowe w których cyframi są elementy \(\displaystyle{ \left\{ 3,...,9\right\} }\). Można więc zliczyć ile jest rozwiązań równania \(\displaystyle{ a_1+a_2+a_3+a_4=30}\) w liczbach \(\displaystyle{ \left\{ 3,...,9\right\} }\). A to bez funkcji tworzących wydaje się raczej żmudne. Z funkcjami tworzącymi sprawdzamy czym jest \(\displaystyle{ \left[ x^{30}\right]\left( x^3+x^4+...+x^9\right)^4=84 }\).

Rozwiązywałem to analogicznie z rozwiązaniem zadania gdzie liczby są mniejsze 1000 i ich suma cyfr jest równa 20, ale te rozwiązanie było trochę zawiłe i nie zrozumiałe dla mnie, więc mogłem się trochę pogubić.

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 14 kwie 2021, o 17:04

aha... ale jak rozwiązałeś to zadanie?

kerajs · Post autor: **kerajs** » 14 kwie 2021, o 17:18

Gdyby wypisać możliwe zestawy cyfr: \(\displaystyle{ (9,9,9,3), (9,9,8,4), (9,9,7,5), (9,9,6,6), (9,8,8,5), (9,8,7,6), (9,7,7,7), (8,8,8,6),(8,8,7,7) }\) to sumując ich permutacje dostaje się ten sam wynik \(\displaystyle{ 4+12+12+6+12+24+4+4+6=84}\).

Maradona126 · Post autor: **Maradona126** » 14 kwie 2021, o 17:20

Janusz Tracz pisze: 14 kwie 2021, o 17:04 aha... ale jak rozwiązałeś to zadanie?

No właśnie podobnie jak napisałeś na początku \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}+x _{3}+x_{4}=30 }\)
Potem coś takiego: \(\displaystyle{ (x _{1}-3) (x _{2}-3) (x _{3}-3) (x _{4}-3)=30-12=18 }\)

Wkładamy po 3 przedmioty do każdego pudełka i odpowiadamy na pytanie.
Na ile sposobów można rozłożyć 18 przedmiotów w czterech rozróżnialnych pudełkach, tak aby w żadnym nie znajdywało się więcej niż 6 przedmiotów.

Wszystkich rozmieszczeń jest \(\displaystyle{ {18+4-1 \choose 4-1}=1330}\)

Takich rozmieszczeń, że w jednym pudełku jest co najmniej 7 przedmiotów.

\(\displaystyle{ 4[{6 \choose 1}+{5 \choose 1}+{4 \choose 1}+{3 \choose 1}+{2\choose 1}+{1 \choose 1}]=4 \cdot 21=84 }\)

\(\displaystyle{ 1330-84=1246}\)

Zapis mocno skrócony.

Ale to na pewno jest błędne rozwiązanie i sam nie wiem co z czego tutaj.

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 14 kwie 2021, o 17:28

Maradona126 pisze: 14 kwie 2021, o 17:20 \(\displaystyle{ (x _{1}-3) (x _{2}-3) (x _{3}-3) (x _{4}-3)=30-12=18 }\)

Tam raczej powinny być \(\displaystyle{ +}\). Poza tym tu masz ograniczenie górne na \(\displaystyle{ x_i}\) bo to są cyfry. Więc nie interesuje Cię liczba rozwiązań w liczbach naturalnych tylko w cyfrach. Z tego powodu wzór na takie rozmieszczenia tu nie działa bezpośrednio. W sensie widzę, że to zapisałeś ale nie wiem skąd wziąłeś te wzory.

Maradona126 · Post autor: **Maradona126** » 14 kwie 2021, o 17:30

Janusz Tracz pisze: 14 kwie 2021, o 17:28
Maradona126 pisze: 14 kwie 2021, o 17:20 \(\displaystyle{ (x _{1}-3) (x _{2}-3) (x _{3}-3) (x _{4}-3)=30-12=18 }\)
Tam raczej powinny być \(\displaystyle{ +}\). Poza tym tu masz ograniczenie górne na \(\displaystyle{ x_i}\) bo to są cyfry. Więc nie interesuje Cię liczba rozwiązań w liczbach naturalnych tylko w cyfrach. Z tego powodu wzór na takie rozmieszczenia tu nie działa bezpośrednio.

Więc jak to zrobić lepiej?

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 14 kwie 2021, o 17:31

Maradona126 pisze: 14 kwie 2021, o 17:30 Więc jak to zrobić lepiej?

No tak jak ja albo kerajs który pokazał elementarne rozwiązania.

Maradona126 · Post autor: **Maradona126** » 14 kwie 2021, o 17:32

Janusz Tracz pisze: 14 kwie 2021, o 17:31
Maradona126 pisze: 14 kwie 2021, o 17:30 Więc jak to zrobić lepiej?
No tak jak ja albo kerajs który pokazał elementarne rozwiązania.

Ok, Dzięki

vpprof · Post autor: **vpprof** » 3 maja 2021, o 21:38

Janusz Tracz pisze: 14 kwie 2021, o 16:45A to bez funkcji tworzących wydaje się raczej żmudne. Z funkcjami tworzącymi sprawdzamy czym jest \(\displaystyle{ \left[ x^{30}\right]\left( x^3+x^4+...+x^9\right)^4=84 }\).

Mam pytanie: czy ten sposób z funkcjami tworzącymi jest do policzenia jakoś szybko na papierze czy tylko w programie do wyliczeń symbolicznych? Krótko mówiąc, czy bez sprzętu jest jakaś lepsza metoda niż wymnażanie tych czterech nawiasów?

Janusz Tracz · Post autor: **Janusz Tracz** » 3 maja 2021, o 21:57

Raczej trzeba liczyć programem jak szybko chcemy odpowiedź ale są pewne sztuczki:

Kod: Zaznacz cały

https://en.wikipedia.org/wiki/Multinomial_theorem

Post autor: **Dasio11** » 8 maja 2021, o 18:48

Liczby czterocyfrowe o sumie cyfr równej \(\displaystyle{ 30}\) to dokładnie liczby postaci \(\displaystyle{ 9999-x}\), gdzie \(\displaystyle{ x}\) jest liczbą czterocyfrową o sumie cyfr równej \(\displaystyle{ 6}\). Tych drugich zaś jest tyle co rozwiązań równania \(\displaystyle{ x_1+x_2+x_3+x_4 = 6}\) w liczbach całkowitych nieujemnych, czyli oczywiście \(\displaystyle{ \binom{9}{3} = 84}\).

Matematyka.pl

Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 30

Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 30

Re: Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 30

Re: Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 30

Re: Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 30

Re: Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 30

Re: Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 30

Re: Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 30

Re: Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 30

Re: Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 30

Re: Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 30

Re: Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 30

Re: Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 30

Re: Ile jest liczb naturalnych mniejszych od 10000, których suma cyfr jest równa 30