Matematyka.pl

Ile jest liczb naturalnych czterocyfrowych, których zapis dziesiętny składa się tylko z dwóch różnych cyfr?

Kombinuję w ten sposób, że:
kombinacje z zerem
\(\displaystyle{ 1000 \\
1001 \\
1010 \\
1011 \\
1100 \\
1101 \\
1110}\)
i tak razy 9 bo mamy 9 liczb.
Natomiast kombinacje bez zera:
\(\displaystyle{ 1112 \\
1121 \\
1122\\
1211\\
1212 \\
1221 \\
1222 \\
2111 \\
2112 \\
2121 \\
2122 \\
2211 \\
2212 \\
2221}\)
czyli 14 kombinacji razy wszystkie kombinacje z cyframi 1i2,1i3,1i4,... 9i8 czyli \(\displaystyle{ 14 \cdot 9 \cdot 8}\)
Razem daje mi to \(\displaystyle{ 1071}\) możliwości.
Zapewne moje rozwiązanie jest błędne więc proszę o jakąś wskazówkę.

Jak już celnie zauważyłeś będziesz musiał rozpatrzyć II przypadki.
I. Takie, w których jedną z cyfr będzie 0.
II. Te w których rozpatrujesz dwie cyfry inne niż zero.

W obu przypadkach przydadzą Ci się kombinacje, aby ustalić ilość pod-przypadków i wariacje z powtórzeniami, aby obliczyć ile takich ciągów można utworzyć w każdym z pod-przypadków.

Rozpisałem wszystkie z zerem i jest ich na pewno \(\displaystyle{ 7 \cdot 9=63}\)
\(\displaystyle{ 1000}\) \(\displaystyle{ 2000}\) \(\displaystyle{ 3000}\).......\(\displaystyle{ 9000}\)
\(\displaystyle{ 1001}\) \(\displaystyle{ 2002}\) \(\displaystyle{ 3003}\).......\(\displaystyle{ 9009}\)
\(\displaystyle{ 1010}\) \(\displaystyle{ 2020}\) \(\displaystyle{ 3030}\).......\(\displaystyle{ 9090}\)
\(\displaystyle{ 1011}\) \(\displaystyle{ 2022}\) \(\displaystyle{ 3033}\).......\(\displaystyle{ 9099}\)
\(\displaystyle{ 1100}\) \(\displaystyle{ 2200}\) \(\displaystyle{ 3300}\).......\(\displaystyle{ 9900}\)
\(\displaystyle{ 1101}\) \(\displaystyle{ 2202}\) \(\displaystyle{ 3303}\).......\(\displaystyle{ 9909}\)
\(\displaystyle{ 1110}\) \(\displaystyle{ 2220}\) \(\displaystyle{ 3330}\).......\(\displaystyle{ 9990}\)
Natomiast bez zera, gdy jedynka jest z przodu mam
\(\displaystyle{ 1112 \\ 1121 \\ 1122\\ 1211\\ 1212 \\ 1221 \\ 1222}\)
i dopiero teraz mogę policzyć dla \(\displaystyle{ 9*8*7=504}\)
Bo jest 7 kombinacji ustawień z 1, 9 cyfr mogę ustawić jako pierwszą i 8 cyfr mogę ustawić jako kolejne.
Dobrze?

Nie trzeba rozpatrywać przypadków. Cyfrę tysięcy można wybrać na \(\displaystyle{ 9}\) sposobów (bo nie możemy wybrać \(\displaystyle{ 0}\)). Drugą cyfrę można wybrać na \(\displaystyle{ 9}\) sposobów (bo nie możemy wybrać już wybranej). Następnie mamy \(\displaystyle{ 2^3-1=7}\) możliwości stworzenia z tych cyfr liczby (co zostało już wykazane ręcznie). Wynik to \(\displaystyle{ 9\cdot9\cdot(2^3-1)=567}\).

1. Liczby z zerami
Cyfrę tysięcy można wybrać na \(\displaystyle{ C_{9}^{1}}\) (bez zera), następne 3 cyfry to 3-wyrazowe wariacje z powtórzeniami zbioru 2-elementowego. 3-wyrazowe ponieważ należy zapełnić jeszcze 3 miejsca, 2 elementowego - ponieważ na dowolnym z tych 3 miejsc należy wstawić jedną z dwóch cyfr 0 albo daną cyfrę. Teraz wystarczy odrzucić przypadki typu: \(\displaystyle{ 1111}\), \(\displaystyle{ 2222}\) itd. (po jednym dla każdej cyfry), czyli ostatecznie: \(\displaystyle{ C_{9}^{1}(W_{2}^{3}-1)}\)

2. Liczby bez zera
Dwie różne cyfry bez zera można wybrać na \(\displaystyle{ V^{2}_{9}}\), I z nich będzie stała na miejscu tysięcy, II z nich będzie służyła jako drugi element w 3-wyrazowych wariacjach z powtórzeniami zbioru 2 elementowego. Ponownie należy odrzucić przypadki typu: \(\displaystyle{ 1111}\) itd. czyli: \(\displaystyle{ V_{9}^{2}(W^{3}_{2}-1)}\)

Ostatecznie:


\(\displaystyle{ C_{9}^{1}(W_{2}^{3}-1)+V^{2}_{9}(W^{3}_{2}-1)}\)

---
@norwimaj, Twoje rozwiązanie jest znacznie prostsze, ale nie rozumiem tego przejścia:

norwimaj pisze:Następnie mamy \(\displaystyle{ 2^3-1=7}\) możliwości stworzenia z tych cyfr liczby (co zostało już wykazane ręcznie).

Mógłbyś je dokładniej opisać?

Mamy już wybrane dwie cyfry: \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), przy czym \(\displaystyle{ x}\) ma być cyfrą tysięcy. Wtedy cyfrę setek wybieramy na dwa sposoby (bo \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ y}\)), cyfrę dziesiątek na dwa sposoby i cyfrę jedności na dwa sposoby. Razem \(\displaystyle{ 2^3}\) sposobów. Jednak wśród otrzymanych liczb jest liczba o zapisie \(\displaystyle{ xxxx}\), której nie chcemy, więc ostatecznie \(\displaystyle{ 2^3-1}\).

Również dobrym sposobem jest wypisanie wszystkich siedmiu możliwości, co zrobił miszczo997 już na początku.

norwimaj pisze:Mamy już wybrane dwie cyfry: \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), przy czym \(\displaystyle{ x}\) ma być cyfrą tysięcy. Wtedy cyfrę setek wybieramy na dwa sposoby (bo \(\displaystyle{ x}\) lub \(\displaystyle{ y}\)), cyfrę dziesiątek na dwa sposoby i cyfrę jedności na dwa sposoby. Razem \(\displaystyle{ 2^3}\) sposobów. Jednak wśród otrzymanych liczb jest liczba o zapisie \(\displaystyle{ xxxx}\), której nie chcemy, więc ostatecznie \(\displaystyle{ 2^3-1}\).

Również dobrym sposobem jest wypisanie wszystkich siedmiu możliwości, co zrobił miszczo997 już na początku.

A czy nie powinniśmy odjąć jeszcze liczby \(\displaystyle{ yyyy}\) od tych 8 sposobów?

Nie - przecież cyfra tysięcy to \(\displaystyle{ x}\), więc przypadków \(\displaystyle{ yyyy}\) w ogóle nie zliczaliśmy