Matematyka.pl

Witam, to mój pierwszy post tutaj. Czy ktoś może pomóc/nakierować przy próbie udowodnienia?

Dla dowolnego podzbioru \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,...,50\}}\) zawierającego \(\displaystyle{ 16}\) elementów zawsze możemy wybrać taki jego podzbiór \(\displaystyle{ B \subseteq A}\) że iloczyn liczb należących do \(\displaystyle{ B}\) jest kwadratem liczby naturalnej. Jako przykład podano: jeśli \(\displaystyle{ A = \left\{2,3,5,12,13,14,21,22 ,23,27,33,35,37,39,47,48\right\}}\) to mamy \(\displaystyle{ 2\cdot 12\cdot 14\cdot 21=7056}\) czyli \(\displaystyle{ 84^{2}}\) (czyli szukanym podzbiorem \(\displaystyle{ B}\) jest tu \(\displaystyle{ \left\{2, 12, 14, 21 \right\}}\))

Próbuję zdziałać coś z liczbami pierwszymi, ale nie wiem czy na tym można się opierać - w podanym przykładzie liczby które stanowią podzbiór \(\displaystyle{ B}\) są iloczynem liczb pierwszych. Niestety nie wiem jak to dalej poprowadzić ani nawet jak to inaczej ugryźć

Moim zdaniem kontrprzykładem jest jedynka i 15 liczb pierwszych. Tu żaden iloczyn nie jest kwadratem.

Prawdopodobnie przyjmujesz konwencję, że nie można obliczyć iloczynu zbioru jednoelementowego. Prawdopodobnie zaś autorzy zadania przyjmują że można, a wtedy podany zbiór nie jest kontrprzykładem.

Nawiasem mówiąc, ja nie widzę problemu nawet z obliczaniem iloczynu zbioru pustego, który ze wszystkich możliwych przyczyn powinien istnieć i wynosić \(\displaystyle{ 1}\). Ale akurat pod tym względem autorzy zadania zdają się uważać inaczej, bo inaczej zastrzegliby, że \(\displaystyle{ B}\) ma być niepusty.

To chyba nie ma nic do rzeczy. Przykład kerajsa jest ok

Nie jest OK, bo bierzesz \(\displaystyle{ B=\{1\}.}\)

Hau, hau (spod stołu)

Nadal nie widzę związku skoro chodzi o:

radi43 pisze: ↑8 lut 2024, o 14:09 iloczyn liczb należących do \(\displaystyle{ B}\)

Zbiory są tu tylko zbytecznym anturażem.

To znaczy? Twój kontrprzykład nie jest dobry, bo jedynka jest kwadratem liczby naturalnej.

JK

Odnośnie zadania: niech \(\displaystyle{ p_1, \ldots p_{15}}\) będą wszystkimi liczbami pierwszymi w zbiorze \(\displaystyle{ \{ 1, \ldots, 50 \}}\). Dla \(\displaystyle{ a \in A}\) niech

\(\displaystyle{ \beta_a = (\alpha_1 \bmod{2}, \ldots, \alpha_{15} \bmod{2})^{\top} \in (\ZZ_2)^{15}}\),

gdzie \(\displaystyle{ a = p_1^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot p_{15}^{\alpha_{15}}}\). Ponieważ wymiar \(\displaystyle{ (\ZZ_2)^{15}}\) jako przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \ZZ_2}\) wynosi \(\displaystyle{ 15}\), układ \(\displaystyle{ \left< \beta_a : a \in A \right>}\) jest liniowo zależny, co sprowadza się do istnienia takiego niepustego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq A}\), że \(\displaystyle{ \sum_{b \in B} \beta_b = 0}\). To zaś oznacza, że iloczyn wszystkich liczb w \(\displaystyle{ B}\) jest kwadratem liczby naturalnej.

Co znaczy

Jan Kraszewski pisze: ↑9 lut 2024, o 22:22 To znaczy?

?


PS
Nie wpadłem na to, że dla 4,9 są trzy iloczyny tych liczb, a nie zaledwie jeden.

Podałeś kontrprzykład, dostałeś kontrprzykład do swojego kontrprzykładu i wtedy napisałeś, że nie widzisz związku. Więc zapytałem się, co to znaczy, bo rzeczony kontrprzykład do kontrprzykładu był w dość bezpośrednim związku...

No ale teraz to i tak bez znaczenia.

JK

Jan Kraszewski pisze: ↑11 lut 2024, o 11:24 Podałeś kontrprzykład, dostałeś (,,,)

Rozumiem.
A jak wygląda zapis tych trzech iloczynów z liczb 4 i 9 :
1) \(\displaystyle{ 4 \cdot 9=36}\)
2) \(\displaystyle{ \ ? \ =4}\)
3) \(\displaystyle{ \ ? \ =9}\)
?