Dowód - kwadrat liczby naturalnej
Dowód - kwadrat liczby naturalnej
Witam, to mój pierwszy post tutaj. Czy ktoś może pomóc/nakierować przy próbie udowodnienia?
Dla dowolnego podzbioru \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,...,50\}}\) zawierającego \(\displaystyle{ 16}\) elementów zawsze możemy wybrać taki jego podzbiór \(\displaystyle{ B \subseteq A}\) że iloczyn liczb należących do \(\displaystyle{ B}\) jest kwadratem liczby naturalnej. Jako przykład podano: jeśli \(\displaystyle{ A = \left\{2,3,5,12,13,14,21,22 ,23,27,33,35,37,39,47,48\right\}}\) to mamy \(\displaystyle{ 2\cdot 12\cdot 14\cdot 21=7056}\) czyli \(\displaystyle{ 84^{2}}\) (czyli szukanym podzbiorem \(\displaystyle{ B}\) jest tu \(\displaystyle{ \left\{2, 12, 14, 21 \right\}}\))
Próbuję zdziałać coś z liczbami pierwszymi, ale nie wiem czy na tym można się opierać - w podanym przykładzie liczby które stanowią podzbiór \(\displaystyle{ B}\) są iloczynem liczb pierwszych. Niestety nie wiem jak to dalej poprowadzić ani nawet jak to inaczej ugryźć
Dla dowolnego podzbioru \(\displaystyle{ A}\) zbioru \(\displaystyle{ \{1,2,...,50\}}\) zawierającego \(\displaystyle{ 16}\) elementów zawsze możemy wybrać taki jego podzbiór \(\displaystyle{ B \subseteq A}\) że iloczyn liczb należących do \(\displaystyle{ B}\) jest kwadratem liczby naturalnej. Jako przykład podano: jeśli \(\displaystyle{ A = \left\{2,3,5,12,13,14,21,22 ,23,27,33,35,37,39,47,48\right\}}\) to mamy \(\displaystyle{ 2\cdot 12\cdot 14\cdot 21=7056}\) czyli \(\displaystyle{ 84^{2}}\) (czyli szukanym podzbiorem \(\displaystyle{ B}\) jest tu \(\displaystyle{ \left\{2, 12, 14, 21 \right\}}\))
Próbuję zdziałać coś z liczbami pierwszymi, ale nie wiem czy na tym można się opierać - w podanym przykładzie liczby które stanowią podzbiór \(\displaystyle{ B}\) są iloczynem liczb pierwszych. Niestety nie wiem jak to dalej poprowadzić ani nawet jak to inaczej ugryźć
Ostatnio zmieniony 8 lut 2024, o 17:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10232
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
Prawdopodobnie przyjmujesz konwencję, że nie można obliczyć iloczynu zbioru jednoelementowego. Prawdopodobnie zaś autorzy zadania przyjmują że można, a wtedy podany zbiór nie jest kontrprzykładem.
Nawiasem mówiąc, ja nie widzę problemu nawet z obliczaniem iloczynu zbioru pustego, który ze wszystkich możliwych przyczyn powinien istnieć i wynosić \(\displaystyle{ 1}\). Ale akurat pod tym względem autorzy zadania zdają się uważać inaczej, bo inaczej zastrzegliby, że \(\displaystyle{ B}\) ma być niepusty.
Nawiasem mówiąc, ja nie widzę problemu nawet z obliczaniem iloczynu zbioru pustego, który ze wszystkich możliwych przyczyn powinien istnieć i wynosić \(\displaystyle{ 1}\). Ale akurat pod tym względem autorzy zadania zdają się uważać inaczej, bo inaczej zastrzegliby, że \(\displaystyle{ B}\) ma być niepusty.
-
- Użytkownik
- Posty: 22216
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
To chyba nie ma nic do rzeczy. Przykład kerajsa jest ok
Ostatnio zmieniony 9 lut 2024, o 06:39 przez admin, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Usunięto cytowany tekst. Nie cytujemy całej treści postu, jeśli odpowiadamy bezpośrednio pod tym postem!
Powód: Usunięto cytowany tekst. Nie cytujemy całej treści postu, jeśli odpowiadamy bezpośrednio pod tym postem!
-
- Administrator
- Posty: 34304
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
Nadal nie widzę związku skoro chodzi o:
Zbiory są tu tylko zbytecznym anturażem.
-
- Administrator
- Posty: 34304
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
To znaczy? Twój kontrprzykład nie jest dobry, bo jedynka jest kwadratem liczby naturalnej.
JK
JK
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10232
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
Odnośnie zadania: niech \(\displaystyle{ p_1, \ldots p_{15}}\) będą wszystkimi liczbami pierwszymi w zbiorze \(\displaystyle{ \{ 1, \ldots, 50 \}}\). Dla \(\displaystyle{ a \in A}\) niech
\(\displaystyle{ \beta_a = (\alpha_1 \bmod{2}, \ldots, \alpha_{15} \bmod{2})^{\top} \in (\ZZ_2)^{15}}\),
gdzie \(\displaystyle{ a = p_1^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot p_{15}^{\alpha_{15}}}\). Ponieważ wymiar \(\displaystyle{ (\ZZ_2)^{15}}\) jako przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \ZZ_2}\) wynosi \(\displaystyle{ 15}\), układ \(\displaystyle{ \left< \beta_a : a \in A \right>}\) jest liniowo zależny, co sprowadza się do istnienia takiego niepustego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq A}\), że \(\displaystyle{ \sum_{b \in B} \beta_b = 0}\). To zaś oznacza, że iloczyn wszystkich liczb w \(\displaystyle{ B}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
\(\displaystyle{ \beta_a = (\alpha_1 \bmod{2}, \ldots, \alpha_{15} \bmod{2})^{\top} \in (\ZZ_2)^{15}}\),
gdzie \(\displaystyle{ a = p_1^{\alpha_1} \cdot \ldots \cdot p_{15}^{\alpha_{15}}}\). Ponieważ wymiar \(\displaystyle{ (\ZZ_2)^{15}}\) jako przestrzeni liniowej nad \(\displaystyle{ \ZZ_2}\) wynosi \(\displaystyle{ 15}\), układ \(\displaystyle{ \left< \beta_a : a \in A \right>}\) jest liniowo zależny, co sprowadza się do istnienia takiego niepustego zbioru \(\displaystyle{ B \subseteq A}\), że \(\displaystyle{ \sum_{b \in B} \beta_b = 0}\). To zaś oznacza, że iloczyn wszystkich liczb w \(\displaystyle{ B}\) jest kwadratem liczby naturalnej.
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
Co znaczy
PS
Nie wpadłem na to, że dla 4,9 są trzy iloczyny tych liczb, a nie zaledwie jeden.
?
PS
Nie wpadłem na to, że dla 4,9 są trzy iloczyny tych liczb, a nie zaledwie jeden.
-
- Administrator
- Posty: 34304
- Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 5203 razy
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
Podałeś kontrprzykład, dostałeś kontrprzykład do swojego kontrprzykładu i wtedy napisałeś, że nie widzisz związku. Więc zapytałem się, co to znaczy, bo rzeczony kontrprzykład do kontrprzykładu był w dość bezpośrednim związku...
No ale teraz to i tak bez znaczenia.
JK
No ale teraz to i tak bez znaczenia.
JK
- kerajs
- Użytkownik
- Posty: 8585
- Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 307 razy
- Pomógł: 3351 razy
Re: Dowód - kwadrat liczby naturalnej
Rozumiem.
A jak wygląda zapis tych trzech iloczynów z liczb 4 i 9 :
1) \(\displaystyle{ 4 \cdot 9=36}\)
2) \(\displaystyle{ \ ? \ =4}\)
3) \(\displaystyle{ \ ? \ =9}\)
?