Cięciwy

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 27 mar 2024, o 17:59

Na ile sposobów można etykietować końce \(\displaystyle{ n}\) średnic okręgu liczbami \(\displaystyle{ 1,..., 2n}\) w taki sposób aby sumy dwóch liczb sąsiednich były równe sumom liczb im odpowiadających (na przeciwległych końcach tych cięciw)

Hir · Post autor: **Hir** » 28 mar 2024, o 12:55

Podoba mi się to zadanie. Dla uproszczenia zliczajmy tylko te etykiety, gdzie początek pierwszej średnicy ma przypisaną liczbę jeden. Wtedy takich ustawień dla \(\displaystyle{ n = 1, 2, 3, \ldots}\) będzie \(\displaystyle{ 1, 0, 4, 0, 48, 0, 1440, 0, 120960, 0, 7257600 \ldots}\). Prawdę mówiąc, niczego sensownego mi to nie przypomina

Zauważyłam jednak, że

\(\displaystyle{ 48 = 2 \cdot 4!}\)
\(\displaystyle{ 1440 = 2 \cdot 6!}\)
\(\displaystyle{ 120960 = 3 \cdot 8!}\) (czemu 3 a nie 2?)
\(\displaystyle{ 7257600 = 2 \cdot 10!}\)

Oczywiście kazałam liczyć to komputerowi, nie sobie. Ustawienia dla \(\displaystyle{ n \le 5}\) jakie znalazł - wklejam, może ktoś znajdzie błąd:

Ukryta treść:

(na przyklad 1 4 5 2 3 6 jest dobre, bo 1+4 = 2+3, 4+5 = 3+6, 5+2 = 6+1)

Ukryta treść:

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 28 mar 2024, o 14:56

Też mi się podoba to zadanie i patrząc na twoje wyniki zauważyłem pewną prawidłowość, w każdym z tych ciągów liczby z dolnej i górnej połowy zakresu są rozłożone równomiernie na obu połowach ciągu, tzn np, 1 9 3 10 2 6 4 8 5 7 , w pierwszej połowie 1 9 3 10 2 są 3 liczby z zakresu 1-5, dwie z zakresu 6-10, w drugiej 6 4 8 5 7 odwrotnie, dwie z 1-5 i trzy z 6-10 i tak jest wszędzie, może dlatego dla parzystej liczby średnic jest 0,

Hir · Post autor: **Hir** » 28 mar 2024, o 16:05

Akurat zera dość łatwo wytłumaczyć. Narysowałam koło ze średnicami i wpisywałam liczby nie wzdłuż okręgu, tylko przy kolejnych średnicach. I (kontynuując mój przykład 1 4 5 2 3 6) każdej średnicy przypisałam liczbę "koniec - początek". Łatwo widać, że warunki zadania wymuszają, żeby te wielkości alternowały. Faktycznie, mamy 1 - 2 = -1, 4 - 3 = 1, 5 - 6 = -1, a potem to samo z odwróconymi znakami: 1, -1, 1. Albo symbolicznie: a, -a, a; -a, a, -a. Wszystko gra.

Dla czterech średnic tak się nie da: widzielibyśmy kolejno a, -a, a, -a, -a, a, -a, a i jest zgrzyt w połowie/na krańcach.

[EDIT] W sumie to mnie teraz olśniło. Wystarczy liczyć, na ile sposobów można rozbić w pary liczby \(\displaystyle{ 1, 2, \ldots, 2n}\) tak, żeby różnica między większą i mniejszą była wszędzie taka sama i to przemnożyć przez stosowną silnię.

Kod: Zaznacz cały

1-2|3-4
1-3|2-4
---
1-2|3-4|5-6
1-4|2-5|3-6
---
1-2|3-4|5-6|7-8
1-3|2-4|5-7|6-8
1-5|2-6|3-7|4-8
---
1-2|3-4|5-6|7-8|9-10
1-6|2-7|3-8|4-9|5-10
---
1-2|3-4|5-6|7-8|9-10|11-12
1-3|2-4|5-7|6-8|9-11|10-12
1-4|2-5|3-6|7-10|8-11|9-12
1-7|2-8|3-9|4-10|5-11|6-12
---
1-2|3-4|5-6|7-8|9-10|11-12|13-14
1-8|2-9|3-10|4-11|5-12|6-13|7-14
---
1-2|3-4|5-6|7-8|9-10|11-12|13-14|15-16
1-3|2-4|5-7|6-8|9-11|10-12|13-15|14-16
1-5|2-6|3-7|4-8|9-13|10-14|11-15|12-16
1-9|2-10|3-11|4-12|5-13|6-14|7-15|8-16
---
1-2|3-4|5-6|7-8|9-10|11-12|13-14|15-16|17-18
1-4|2-5|3-6|7-10|8-11|9-12|13-16|14-17|15-18
1-10|2-11|3-12|4-13|5-14|6-15|7-16|8-17|9-18

I teraz jak liczyć takie rozbicia? Wydaje mi się, że rozbicia liczb od 1 do 18 są trzy, bo 9 ma trzy dzielniki (1, 3, 9). Więc chyba natknęliśmy się na funkcję \(\displaystyle{ \sigma_0}\) z teorii liczb.

Gouranga · Post autor: **Gouranga** » 28 mar 2024, o 22:00

Różnica liczb na końcach nie musi być 1 lub -1, ważne żeby na wszystkich była taka sama
przykład:
1 5 3 4 2 6
różnica to 3, ale na zmianę raz jest +3 raz -3
patrząc na inne przykłady właśnie wygląda trochę tak, jakby liczba naprzeciwko jedynki musiała być dzielnikiem liczby średnic

Dodano po 17 godzinach 36 minutach 28 sekundach:
mała poprawka: chodziło mi o to, że ta różnica między końcami średnicy powinna być dzielnikiem liczby średnic, i najwyraźniej musi być nieparzysta

Matematyka.pl

Cięciwy

Cięciwy

Re: Cięciwy

Re: Cięciwy

Re: Cięciwy

Re: Cięciwy