Matematyka.pl

Witam. Mam ciąg zdefiniowany rekurencyjnie
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_0{}=1\\ a_{n+1}= 2a_n{}+1 \end{cases}}\)

Potrzebuję pomocy w wyznaczeniu wzoru jawnego i uzasadnieniu tego wzoru za pomocą indukcji.
Mógłby ktoś krok po kroku pomóc mi w tym?

Wzór jawny to \(\displaystyle{ a_n = 2(2^n -1) +1}\)
Indukcję pozostawiam Tobie.

Jak wyznaczyłeś ten wzór?
Mógłbyś rozpisać mi krok po kroku jak zrobić tę indukcję?

Jak wyznaczyłeś ten wzór?

rozpisałem kilka pierwszych wyrazów.

Mógłbyś rozpisać mi krok po kroku jak zrobić tę indukcję?

Krok bazowy zostawiam Tobie.

Załóżmy, że \(\displaystyle{ a_n = 2(2^n -1) +1}\)
Z definicji \(\displaystyle{ a_{n+1} = 2a_n +1}\)
Korzystamy z założenia indukcyjnego i mamy, że \(\displaystyle{ a_{n+1} = 2( 2(2^n -1) +1) +1 = 2(2^{n+1} -1) +1}\)
Co daje dowód na mocy założenia indukcyjnego

Teza to \(\displaystyle{ a_n_+_1{} = 2\left( 2^n^+^1{} -1 \right)+1}\) ?

owszem

Jak wyznaczyłeś ten wzór?

Polecam lekturę mojego wpisu na blogu, gdzie w końcowym fragmencie artykułu rozważam podobną rekurencję. Chodzi o część o wieszaniu firan.

... zawieszal/

Nie chcę was martwić swoim czepialstwem, ale rozwiązaniem tej rekurencji jest:

\(\displaystyle{ a_{n}=0,}\) dla.: \(\displaystyle{ n \ge 1}\)

Pomińmy brak umiejętności autora wątku pisania w LaTeX-u. Prawdę mówiąc, przy określeniu \(\displaystyle{ a_n+1=2a_n+1}\) to nie jest rekurencja, tylko jawny wzór.

arek1357 pisze:Nie chcę was martwić swoim czepialstwem, ale rozwiązaniem tej rekurencji jest:

\(\displaystyle{ a_{n}=0,}\) dla.: \(\displaystyle{ n \ge 1}\)

Jak to możliwe, ze wyszło 0?

Bo, Kolego, nie umiesz pisać w LaTeX-u. Popatrz, co napisałeś w drugiej linii swojego pytania. Oczywiście mówię o wersji oryginalnej. Zaraportowałem Twój post z prośbą o poprawienie. Miałeś \(\displaystyle{ a_n+1}\) a nie \(\displaystyle{ a_{n+1}.}\) Przeczytaj też mój post dwa posty wyżej.

Rozumiem. Muszę przestudiować instrukcję

Koniecznie, bo wszystkie prace dyplomowe i magisterskie pisze się w LaTeX-u.