Matematyka.pl

Wewnątrz prostokąta o rozmiarach \(\displaystyle{ 3}\) na \(\displaystyle{ 4\, cm}\) umieszczono 6 punktów. Udowodnić, że odległość pomiędzy pewnymi dwoma punktami nie przekarcza \(\displaystyle{ \sqrt5\, cm.}\)

Do koła o promieniu \(\displaystyle{ 2\,cm}\) wrzucono 17 punktów. Udowodnić, że przynajmniej 2 punkty znajdują się w odległości nie większej niż \(\displaystyle{ \sqrt2\, cm.}\)

1.
Prostokąt o wierzchołkach (0,0), (4,0) , (4,3) i (0,3) dzielę na 6 prostokącików 2x1 . Nowe wierzchołki to (2,0), (2,1), (2,2,) i (2,3). Wybieram 6 punktów. Jeśli istnieje prostokącik z dwoma wybranymi punktami to teza jest spełniona.
Zakładam, że nie jest.
Punkty (0,0), (2,0, (4,0) , (4,3), (2,3) i (0,3) traktuję jako środki kół o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt5}\), Na prostokącie pozostały trzy obszary (nazwę je P, Q, R) które nie należą do tych kół. Tylko w nich mogą znaleźć się punkty w środkowych prostokątach. Jeśli tak nie jest, to punkt w środkowym prostokąciku generuje koło o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt5}\) w całości pokrywające jeden ze skrajnych prostokącików, co jest sprzeczne z założeniem.
Niezależnie od położenia punkty w zewnętrznych prostokącikach generują koło o promieniu \(\displaystyle{ \sqrt5}\) w całości pokrywające przynajmniej jeden z obszarów P,Q,R. Jeśli dołożyć że w obu górnych i w obu dolnych prostokącikach punkty muszą leżeć odpowiednio daleko od siebie, to niepokrytym pozostanie najwyżej jeden z obszarów P,Q,R , co potwierdza tezę z zadania.


2.
Kwadrat o boku 4, w którym zmieści się koło z zadania, dzieli się na 16 kwadratów jednostkowych. W takim kwadraciku odległość między dwoma punktami nie przekracza \(\displaystyle{ \sqrt2}\), co jest długością jego przekątnej. Przy 17 punktach istnieje przynajmniej jeden kwadrat z przynajmniej dwoma punktami, co daje tezę.