Matematyka.pl

Bogowie Olimpu zdecydowali, że powierzą 9 śmiertelnikom wykonanie 12 prac. Żeby ułatwić śmiałkom zadanie, chcą podzielić ich na 4 niepuste grupy, z których każda dostanie co najmniej jedno zadanie do wykonania. Na ile sposobów mogą
podzielić śmiertelników i przydzielić im zadania?

Proszę o sprawdzenie:
Najpierw dzielimy 9-osobową grupę na 4 podgrupy niepuste. Wybieramy jedną osobę z dziewięciu do pierwszej grupy, jedną osobę z ośmiu pozostałych do drugiej grupy, jedną z pozostałych do trzeciej i jedną do czwartej. To daje \(\displaystyle{ 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6}\). Pozostaje pięć osób, które mogą pójść do dowolnej grupy. Bierzemy jedną z tych pięciu osób i ona ma 4 możliwości, bierzemy drugą też ma cztery i tak dalej. Zatem mamy \(\displaystyle{ 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 4^5}\). Jednak licząc w ten sposób rozróżniamy grupy, a grup nie chcemy rozróżniać, zatem ten wynik trzeba podzielić przez permutację 4-elementową więc dostajemy \(\displaystyle{ \frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 4^5}{4!}}\). Teraz bierzemy jedną pracę z dwunastu i przydzielamy ją do pierwszej grupy, drugą z jedenastu do drugiej i tak dalej. Mamy \(\displaystyle{ \frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 4^5}{4!\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9}}\). Pozostaje 8 prac, które rozdajemy dowolnie czterem grupom. Otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 4^5}{4!\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 4^8}}\).

Czy tak jest dobrze?

Nie jest dobrze.

Tak, przypuszczałem, że coś tu pomieszałem, ale jak powinno być?

Hint: Liczby Stirlinga II rodzaju

Ok, w takim razie czy to będzie:
\(\displaystyle{ \left\{ \frac{9}{4} \right\} \left\{ \frac{12}{4} \right\}\cdot 4! }\).

Nie wiem jak w latexu robi się te liczby Stirlinga, ale chyba wiadomo o co chodzi w tym zapisie.