Udowodnić, że jeśli wielomian \(\displaystyle{ W(x) = \prod_{i=1}^{n} \left( x-x_{i}\right) = x^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_{1}x + a_{0}}\)
ma pierwiastki (\(\displaystyle{ x_{i}}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,...,n}\)) wymierne oraz wszystkie współczynniki (\(\displaystyle{ a_{k}}\)dla \(\displaystyle{ k = 1,2,...,n-1}\)) całkowite, to pierwiastki też są liczbami całkowitymi.
Temat wrzuciłem w dziale z wielomianami, ale nie spotkałem się z odzewem, więc chciałbym spróbować tutaj.
Proszę powiedzieć mi, czy jest to prawda, a jeśli tak, to też proszę o proste uzasadnienie.
Pozdrawiam
[Wielomiany] Wielomian unormowany. Pierwiastki całkowite.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 75
- Rejestracja: 3 paź 2007, o 13:52
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piotrków Tryb
- Pomógł: 6 razy
[Wielomiany] Wielomian unormowany. Pierwiastki całkowite.
Jeżeli wielomian ma współczynniki całkowite
\(\displaystyle{ W(x)=a_{n}x^{n}+ \dots a_{1}x + a_{0}}\) to jeżeli liczba wymierna \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) jest jego pierwiastkiem, to \(\displaystyle{ p|a_{0} \wedge q|a_{n}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ 0=W(\frac{p}{q})\cdot q^{n} = \sum_{i=0}^{n}a_{i}p^{i}q^{n-i}}\) z tego wynikają bezpośrednio te podzielności.
\(\displaystyle{ W(x)=a_{n}x^{n}+ \dots a_{1}x + a_{0}}\) to jeżeli liczba wymierna \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) jest jego pierwiastkiem, to \(\displaystyle{ p|a_{0} \wedge q|a_{n}}\)
Dowód:
\(\displaystyle{ 0=W(\frac{p}{q})\cdot q^{n} = \sum_{i=0}^{n}a_{i}p^{i}q^{n-i}}\) z tego wynikają bezpośrednio te podzielności.
-
- Użytkownik
- Posty: 1824
- Rejestracja: 11 sty 2007, o 20:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice, Warszawa
- Podziękował: 73 razy
- Pomógł: 228 razy
[Wielomiany] Wielomian unormowany. Pierwiastki całkowite.
Dzięki, nie przypuszczałem, że to pójdzie z tak trywialnego twierdzenia jak to o pierwiastkach wymiernych
Ten wniosek jest w stanie zniszczyć niektóre zadania olimpijskie, więc jest istotny.
Ten wniosek jest w stanie zniszczyć niektóre zadania olimpijskie, więc jest istotny.