[Wielomiany] Udowodnij, że

PFloyd · Post autor: **PFloyd** » 11 sty 2007, o 17:16

Wielomian W(x) stopnia trzeciego ma trzy pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1},x_{2},x_{3}}\). Udowodnij, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{W'(x_{1})}+\frac{1}{W'(x_{2})}+\frac{1}{W'(x_{3})}=0}\)

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 12 sty 2007, o 00:50

Sprawa jest prosta:
W(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3) niech:
W'(x)=(x-x2)(x-x3)+(x-x1)(x-x3)+(x-x1)(x-x2)
W'(x1)=(x1-x2)(x1-x3)
W'(x2)=(x2-x1)(x2-x3)
W'(x3)=(x3-x1)(x3-x2)
po dodaniu(odwrotności) i sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymamy
w liczniku: x2-x3-x1+x3+x1-x2=0

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 12 sty 2007, o 02:08

ładne....A czy mozna too uogolnić?!

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 14 sty 2007, o 19:40

tak można uogólnić dla dowolnego n jest to prawda z wyjątkiem 1

Arek · Post autor: **Arek** » 15 sty 2007, o 17:42

Dowód uogólnienia można znaleźć (o ile się nie udowodni samodzielnie) w Banasiu, Wędrychowiczu.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 15 sty 2007, o 21:49

Nie znam Banasia Wedrychowicza mmoze blize j???