Pokaż, że dla wszystkich \(\displaystyle{ n\ge2, B_{n}\left(1\right)-B_{n}\left(0\right)=0}\)
gdzie \(\displaystyle{ B_n}\) oznacza wielomian Bernoulliego.
wielomian Bernoulliego
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10308
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 41 razy
- Pomógł: 2409 razy
Re: wielomian Bernoulliego
Z definicji
\(\displaystyle{ \frac{te^{xt}}{e^t-1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n(x) \frac{t^n}{n!}}\).
Wstawiając kolejno \(\displaystyle{ x = 1}\) i \(\displaystyle{ x = 0}\) i odejmując stronami:
\(\displaystyle{ \begin{align*} \frac{t e^t}{e^t-1} - \frac{t}{e^t-1} & = \sum_{n=0}^{\infty} B_n(1) \frac{t^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} B_n(0) \frac{t^n}{n!}, \\[1ex]
t & = \sum_{n=0}^{\infty} \big[ B_n(1) - B_n(0) \big] \cdot \frac{t^n}{n!} \end{align*}}\)
i stąd
\(\displaystyle{ B_n(1) - B_n(0) = \begin{cases} 1 & \text{dla } n = 1, \\ 0 & \text{dla pozostałych } n. \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \frac{te^{xt}}{e^t-1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n(x) \frac{t^n}{n!}}\).
Wstawiając kolejno \(\displaystyle{ x = 1}\) i \(\displaystyle{ x = 0}\) i odejmując stronami:
\(\displaystyle{ \begin{align*} \frac{t e^t}{e^t-1} - \frac{t}{e^t-1} & = \sum_{n=0}^{\infty} B_n(1) \frac{t^n}{n!} - \sum_{n=0}^{\infty} B_n(0) \frac{t^n}{n!}, \\[1ex]
t & = \sum_{n=0}^{\infty} \big[ B_n(1) - B_n(0) \big] \cdot \frac{t^n}{n!} \end{align*}}\)
i stąd
\(\displaystyle{ B_n(1) - B_n(0) = \begin{cases} 1 & \text{dla } n = 1, \\ 0 & \text{dla pozostałych } n. \end{cases}}\)