Matematyka.pl

Rozwiąż układ równań:

\(\displaystyle{ y^{2} + y \cdot x - z - x = 0}\)

\(\displaystyle{ z^{2} + z \cdot y - x - y = 0}\)

\(\displaystyle{ x^{2} + x \cdot z - y - z = 0}\)


Potrafiłby ktoś? Byłabym wdzięczna

\(\displaystyle{ y(y+x) -(x+z) = 0}\)

\(\displaystyle{ z(z+y) -(x+y)=0}\)

\(\displaystyle{ x(x+z)-(y+z) =0}\)

\(\displaystyle{ x+y = a, \ \ x+z = b, \ \ y +z = c, \ \ a, b, c \neq 0}\)

\(\displaystyle{ ay - b =0}\)

\(\displaystyle{ cz - a =0}\)

\(\displaystyle{ bx - c =0}\)

Z ostatniego układu równań:

\(\displaystyle{ x\cdot y \cdot z = 1}\)

\(\displaystyle{ \vec{X}_{1}= \begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \vec{X}_{2}= \begin{bmatrix}1\\-1\\-1 \end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \vec{X}_{3}= \begin{bmatrix}-1\\-1\\ 1 \end{bmatrix}}\), \(\displaystyle{ \vec{X}_{4}= \begin{bmatrix}-1\\1\\ -1 \end{bmatrix}}\)

Po wstawieniu wartości współrzędnych każdego z wektorów \(\displaystyle{ X_{i}, \ \ i=1,2,3, 4}\)- układ równań spełnia tylko wektor \(\displaystyle{ \vec{X}_{1}}\)

435451.htm

JK

A co z rozwiązaniami rzeczywistymi?

Jeśli \(\displaystyle{ a, b, c = 0,}\) to rozwiązaniem układu równań jest wektor

\(\displaystyle{ \vec{X}_{0} = \begin{bmatrix}0\\0\\0\\ \end{bmatrix}.}\)-- 30 paź 2018, o 22:37 --Liczby \(\displaystyle{ 0, 1}\) należą do liczb rzeczywistych.

A ja bym chciał zobaczyć dlaczego moduły niewiadomych muszą być równe \(\displaystyle{ 1}\)...

Lecz skąd jest założenie że 1 musi być iloczynem trzech liczb całkowitych

Z iloczynu \(\displaystyle{ x\cdot y \cdot z = 1.}\)

A jeśli na przykład \(\displaystyle{ x\cdot y\cdot z=\frac12\cdot2\cdot1}\)?

Może tak, do weryfikacji :
Oczywiście \(\displaystyle{ xyz = 1}\), oraz po zsumowaniu stronami mamy, że \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \left( x+y-1\right)^{2} = 3}\).
Jeżeli wszystkie liczby są dodatnie, to po pierwsze mamy z nierówności \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} + c^{2} \ge \frac{\left( a+b+c\right)^{2} }{3}}\), że \(\displaystyle{ x + y + z \le 3}\), a to po wykorzystaniu nierówności \(\displaystyle{ 3 \ge x + y + z \ge 3 \sqrt[3]{xyz} = 3}\) daje Nam rozwiązanie w postaci trójki \(\displaystyle{ x = y = z = 1}\).
W przypadku, gdy dwie z liczb są ujemne(to pozostały przypadek, niech bso \(\displaystyle{ x, y < 0}\) i \(\displaystyle{ z > 0}\)), to prawdziwe są nierówności \(\displaystyle{ x + z > 0, y + z < 0}\).
Z określenia liczb wynika, że \(\displaystyle{ z > \left| x \right|}\) oraz \(\displaystyle{ \left| y \right| > z}\), tj. \(\displaystyle{ |y|>|z|>|x|}\). Jako, że \(\displaystyle{ |x||y||z| = 1}\), to mamy, iż \(\displaystyle{ |y| \ge 1}\) i \(\displaystyle{ |z| \le 1}\).
Równość \(\displaystyle{ y^{2} + xy = x + z}\) jest natomiast niemożliwa, gdyż \(\displaystyle{ x + z < z < |y| \le y^{2} < y^{2} + xy}\).
Uwzględniając, że któraś z liczb może się zerować, mamy trójkę \(\displaystyle{ x = y = z = 0}\).
I jeszcze komentarz dlaczego opuściliśmy wartość bezwzględną :
Otóż gdyby \(\displaystyle{ x + y + z \le \frac{3}{2}}\), to \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \left( x + y\right) \le \frac{3}{4}}\), więc wszystkie dwójki spełniałyby \(\displaystyle{ 0 < x + y < \frac{3}{4}}\). Wtedy natomiast \(\displaystyle{ - 1 < x + y - 1 < -\frac{1}{4}}\), więc \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \left( x + y - 1\right)^{2} < 3}\)

Rozwiązałem sobie na kartce, na kolanie i jest tylko:

\(\displaystyle{ (0,0,0)}\)

\(\displaystyle{ (1,1,1)}\)

W każdym powyższym rozwiązaniu nie ma jednoznacznej odpowiedzi brak doprowadzenia do końca...

Mógłbyś sprecyzować czemu \(\displaystyle{ x+y+z \le 3}\) ?

Mamy, że \(\displaystyle{ 3 = \sum_{}^{} \left( x + y - 1\right)^{2} \ge \frac{ \left( \sum_{}^{} \left( x + y - 1\right)\right)^{2} }{3} \Rightarrow 3 \ge \sum_{}^{} \left( x + y - 1\right) \Rightarrow 3 \ge \sum_{}^{} x}\)
Teraz wartość bezwzględna pomijam, gdyż \(\displaystyle{ x + y + z \ge \frac{3}{2}}\) jak wyżej wspomniałem

MatrixirtaM

Na przykład trójka liczb: \(\displaystyle{ x =\frac{1}{2}, \ \ y = 2, \ \ z =1}\) - nie spełnia układu równań.