[Teoria liczb] Zadania z potęgami liczby 11

zbystura · Post autor: **zbystura** » 1 sty 2005, o 18:29

1 Uzasadnij, że wśród liczb \(\displaystyle{ 11, 11^2, 11^3 , 11^4, 11^5, \ldots}\) są takie dwie, które mają jednakowe końcówki pięciocyfrowe.

2. Zauważ, że jeśli liczby \(\displaystyle{ 11^k}\) i \(\displaystyle{ 11^l}\), gdzie \(\displaystyle{ k<l}\), mają takie same końcówki pięciocyfrowe, to zapis liczby \(\displaystyle{ 11^k *(11^{l-k} - 1)}\) kończy się pięcioma zerami.

3. Wykaż, że dla pewnego n liczba \(\displaystyle{ 11^n}\) ma końcówkę postaci \(\displaystyle{ 00001}\)

_el_doopa · Post autor: **_el_doopa** » 1 sty 2005, o 19:59

fi(10^5)=10^5 *0.5 * 0.8 = 40 000
z tw.eulera

11^fi(10^5)=1(mod 10^5)

11^(40 000) = 1(mod 10^5)

i stad masz wszystko

zbystura · Post autor: **zbystura** » 1 sty 2005, o 20:20

a mozesz to troche bardzie przystepnie wytlumaczyc

g · Post autor: g » 1 sty 2005, o 20:40

a co tu jest niezrozumialego? wszystko jest w porzadku jak dla mnie... jest napisane co i jak, co sie z czego bierze. bardzo ladne rozwiazanie. a zadanie szczerze mowiac nie jest na poziomie olimpijskim...

Linka · Post autor: **Linka** » 2 sty 2005, o 09:10

Pierwsze mozna tez z zasady szufladkowej - reszt modulo 10^5 jest skonczona ilosc, wiec ktores dwie musza sie powtorzyc.

Arek · Post autor: **Arek** » 2 sty 2005, o 21:12

cóż - pamiętajcie, że jak dajecie zadania w dziale - zadania poziom olimpijski - automatycznie odpowiedzi też muszą mieć swój poziom.