[Teoria liczb] Suma potęg trójek

Django · Post autor: **Django** » 1 sie 2012, o 16:16

Udowodnij że każdą liczbę naturalną n można przedstawić jednoznacznie w postaci \(\displaystyle{ n = 3^{i_1} \pm 3^{i_2} \pm ... \pm 3^{i_s}}\), gdzie \(\displaystyle{ i_1, i_2, ..., i_s \in \NN \cup\{0\}}\), \(\displaystyle{ i_1 > i_2 > ... > i_s.}\)

Edit: Dobra, już wiem jak to zrobić, ale chętnie poznam Wasze rozwiązania

Swistak · Post autor: **Swistak** » 1 sie 2012, o 16:58

No pfff... Ale banalne. Znajdujemy najbliższą potęgę trójki i indukcja. Koniec.

Panda · Post autor: **Panda** » 1 sie 2012, o 21:11

UWAGA BLEF

stara wersja:

Ukryta treść:

Swistak · Post autor: **Swistak** » 1 sie 2012, o 21:48

Hmmm... Nie przekonuje mnie to. Zupełnie analogiczne rozumowanie można by przeprowadzić gdyby zamiast od \(\displaystyle{ \{ -1, 0, 1\}}\) wystartować od \(\displaystyle{ \{-3, 0, 3\}}\), a w tym przypadku to nie działa.
Każdemu takiemu napisowi złożonemu z potęg trójek przyporządkujemy pewną liczbę naturalną (która oczywiście nie będzie równa wartości tego napisu). Ale co z tego??

Panda · Post autor: **Panda** » 1 sie 2012, o 22:02

O kurde.
Blefem w dowodzie jest implikacja: jeśli zbiory są równoliczne i funkcja \(\displaystyle{ A \rightarrow B}\) różnowartościowa, to mamy bijekcję. Np. funkcja \(\displaystyle{ \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}}\) postaci \(\displaystyle{ f(x) = 3x}\) jest kontrprzykładem.
Wątpię by się to dało uratować (w obecnej, eleganckiej postaci), sory:D

Mruczek · Post autor: **Mruczek** » 2 kwie 2021, o 17:37

Rozwiązanie można zaimplementować i przetestować np. w zadaniu "Diamentowy szyfr" z finału pierwszej olimpiady informatycznej gimnazjalistów:

Kod: Zaznacz cały

https://szkopul.edu.pl/problemset/problem/cOxuKPueGpcbRLOLMKFk6QRM/site/?key=statement

Matematyka.pl