[Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: arek1357 »

Wielkiej filozofii nie ma tu , łatwo zauważyć, że:

\(\displaystyle{ x_{n}=n+3}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: kerajs »

Tak by było dla
\(\displaystyle{ x_{n+1}= x_{n-1}^2 - (n-1)x_n}\)
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: arek1357 »

Co ty mówisz?

\(\displaystyle{ x_{n}=n+3 }\)

\(\displaystyle{ x_{n-1}=n+2 }\)

\(\displaystyle{ x_{n+1}=n+4 }\)

Teraz podstaw do:

\(\displaystyle{ x_{n+1}=x_{n-1}^2-nx_{n}}\)

\(\displaystyle{ n+4=(n+2)^2-n(n+3)=n^2+4n+4-n^2-3n=n+4}\)
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: kerajs »

Ech, licząc w głowie zapomniałem o tej jedynce w \(\displaystyle{ a_{n+1}}\) . Sorry, mój błąd.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: mol_ksiazkowy »

zadanie
Dane są różne liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b ,c}\) przy czym \(\displaystyle{ ab+1, bc+1, ac+1 }\) są podzielne przez liczbę pierwszą \(\displaystyle{ p>2}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3} \geq p+2}\)
Ostatnio zmieniony 9 mar 2023, o 19:25 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 1 raz.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: a4karo »

Kontrprzykład `1,3,5`, `p=2`

Dodano po 2 godzinach 13 minutach 13 sekundach:
Kontrprzykład: `-2,-12,-22`, `p=5`

Dodano po 1 godzinie 43 minutach 14 sekundach:
Niech `0<a<b<c`. Z założeń wnioskujemy że `p` nie dzieli żadne z liczb `a,b,c`, oraz że `p|(c-b)` i `p|(b-a)`. Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{3}=\frac{(c-b)+2(b-a)+3a}{3}\ge \frac{p+2p+3a}{3}=p+a}\).

Jeżeli `a\ge 2`, to mamy już to, co trzeba. Jeżeli zaś `a=1`, to z faktu że `b-a=kp` i `ab+1=a(a+kp)+1=mp` wynika, że `p|a^2+1`, a to jest niemożliwe.

Przykład `a=2, b=7, c=12, p=5` pokazuje, że nierówności nie można zamienić na ostrą.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: mol_ksiazkowy »

a4karo -jeśli chcesz, możesz przedstawić nastepne zadanie...
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: a4karo »

Numerki to nie moja bajka. Oddaję
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: mol_ksiazkowy »

:arrow: Udowodnić, że w rosnącym ciągu arytmetycznym liczb naturalnych, w którym pierwszy wyraz jest równy 1, jest nieskończona ilość kwadratów liczb całkowitych.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: mol_ksiazkowy »

Można przedstawić następne zadanie...
Ostatnio zmieniony 11 kwie 2023, o 19:23 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: Premislav »

Udowodnij, że istnieje \(\displaystyle{ 100}\) kolejnych liczb naturalnych takich, że każda z nich ma dzielnik pierwszy mniejszy niż \(\displaystyle{ 60}\).
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: a4karo »

W zbiorze \(\displaystyle{ A=\{-50, -49, ..., 49, 50\}}\) wszystkie liczby maja dzielnik pierwszy mniejszy niż `60`. Wystarczy go przesunąć np. o `60!`
Awatar użytkownika
timon92
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1654
Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 472 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: timon92 »

jakie dzielniki pierwsze mają \(1\) i \(-1\)?
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Teoria liczb] Teoria liczb

Post autor: a4karo »

Fakt. No to odszczekuję (na razie)

Dodano po 14 godzinach 56 minutach 11 sekundach:
Niech \(\displaystyle{ K=2*3*5*7*11*13*17*19*23*29*31*37*41*43*47}\) będzie iloczynem wszystkich liczb pierwszych mniejszych niż `50`.
Mamy \(\displaystyle{ 2K\equiv 1 \mod 53}\)
Rozwiązując równanie \(\displaystyle{ (53x+2)K=-1 \mod 59}\) dostajemy `x=16`
Zatem liczba \(\displaystyle{ 850*K+1}\) dzieli się przez `59`, a liczba \(\displaystyle{ 850*K-1}\) dzieli się przez `53`.
Pozostałe liczby z przedziału `[850K-50,850K+50]` mają oczywiście dzielnik pierwszy mniejszy niż `60`

Dodano po 43 minutach 1 sekundzie:
Uogólnienie


Niech `2,3,5,...,p_n,...` będzie ciągiem rosnącym wszystkich liczb pierwszych.
Wtedy dla każdego `n>3 ` istnieje ciąg `2p_{n-1}-1` kolejnych liczb naturalnych, z których każda ma dzielnik pierwszy nie wiekszy niż `p_n`.

Dowód
Niech \(\displaystyle{ K=\prod_{k=1}^{n-2}p_k }\). Wtedy dla dowolnego naturalnego `m` wszystkie liczby z przedziału `[mK-(p_{n-1}-1),mK+p_{n-1}-1]` za wyjątkiem `mK\pm 1` mają dzielnik pierwszy nie większy niż `p_{n-2}`
Niech `x,y` będą rozwiązaniami równań
`xK=1 \mod p_{n-1}`
`(p_{n-1}y+x)K=-1 \mod p_n`
Kładąc `m=p_{n-1}y+x` dostajemy, że `mK-1` dzieli się przez `p_{n-1}`, a `mK+1` przez `p_n`.
ODPOWIEDZ