Matematyka.pl

Mama Jerza pisze: Mamy skończony zbiór liczb \(\displaystyle{ A}\) z przedziału \(\displaystyle{ [0,1]}\) taki, że \(\displaystyle{ 0,1\in A}\) oraz \(\displaystyle{ x\in A}\) dla \(\displaystyle{ x}\) różnego od \(\displaystyle{ 0,1}\) implikuje istnieje różnych liczb \(\displaystyle{ a,b\in A}\) takich, że \(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}=x}\). Udowodnić, że wszystkie liczby w \(\displaystyle{ A}\) są wymierne.

Ukryta treść:    

Niech \(\displaystyle{ (a_1,a_2,...,a_n)}\) będzie bazą \(\displaystyle{ A}\) nad liczbami wymiernymi. Możemy założyć, że \(\displaystyle{ a_n=1}\). Rozważmy teraz odwzorowanie \(\displaystyle{ f:A\rightarrow \mathbb{Q}^n}\) określone w następujący sposób

\(\displaystyle{ f(s)=(x_{1}^{(s)},x_{2}^{(s)},...,x_{n}^{(s)})}\)

i liczby wymierne \(\displaystyle{ x_{i}^{(s)}}\) są takie, że \(\displaystyle{ s=\sum_{i=1}^n a_i\cdot x_{i}^{(s)}}\) (oczywiście takie liczby istnieją i odwzorowanie jest jednoznaczne, bo \(\displaystyle{ a_i}\) tworzą bazę). Wprowadźmy jeszcze relację \(\displaystyle{ >}\) między liczbami z \(\displaystyle{ A}\). Powiemy, że \(\displaystyle{ a>b}\) dla różnych \(\displaystyle{ a,b\in A}\), jeśli dla najmniejszego \(\displaystyle{ i\in \{1,2,...\}}\) takiego, że \(\displaystyle{ x_{i}^{(a)}\neq x_{i}^{(b)}}\) w \(\displaystyle{ f(a)}\) i \(\displaystyle{ f(b)}\) zachodzi \(\displaystyle{ x_{i}^{(a)}>x_{i}^{(b)}}\). Jako proste ćwiczenie pozostawiam sprawdzenie, że jeśli \(\displaystyle{ a,b,c\in A}\) oraz \(\displaystyle{ a>b}\) i \(\displaystyle{ b>c}\), to \(\displaystyle{ a>c}\). Możemy zatem wybrać element największy i najmniejszy, oznaczmy je odpowiednio \(\displaystyle{ X, Y}\). Gdyby \(\displaystyle{ X\neq 1}\) istniałyby liczby \(\displaystyle{ m,n\in A}\) takie, że \(\displaystyle{ X=\frac{m+n}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ f(X)=\frac{f(m)+f(n)}{2}}\), co z kolei implikuje \(\displaystyle{ x_{i}^{(X)}=\frac{x_{i}^{(m)}+x_{i}^{(n)}}{2}}\), a to jest oczywistą sprzecznością na mocy określenia \(\displaystyle{ X}\). Mamy więc \(\displaystyle{ X=1}\) i w zupełnie analogiczny sposób \(\displaystyle{ Y=0}\). Widzimy zatem, że dla dowolnego \(\displaystyle{ s\in A}\) różnego od \(\displaystyle{ 0,1}\) zachodzi \(\displaystyle{ 1> s> 0}\). Łatwo również zauważyć, że \(\displaystyle{ a_n=1}\) implikuje \(\displaystyle{ f(1)=(0,0,...,0,1)}\) i \(\displaystyle{ f(0)=(0,0,...,0)}\), czyli zachodzi \(\displaystyle{ x_{i}^{(s)}=0}\) dla \(\displaystyle{ i=1,2,..,n-1}\) oraz \(\displaystyle{ s=x_{n}^{(s)}\in \mathbb{Q}}\), a to chcieliśmy pokazać.

timon92 pisze:
Czas na stereo: Przez wysokość czworościanu foremnego poprowadzono płaszczyznę, której części wspólne ze ścianami bocznymi tworzą z płaszczyzną podstawy kąty \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ \tg^2 \alpha + \tg ^2 \beta + \tg ^2 \gamma = 12}\)

Burii pisze:W ostatnim zadaniu wystarczy przeliczyć te tangensy:)

\(\displaystyle{ ABCD}\) jest trapezem w którym \(\displaystyle{ E}\) to punkt przecięcia przekątnych, zaś \(\displaystyle{ F}\) to taki punkt na podstawie \(\displaystyle{ AB}\), że \(\displaystyle{ \left| CF\right|=\left| DF\right|}\). Dowieść, że proste \(\displaystyle{ EF}\) i prosta przechodząca przez środki okręgów opisanych na trójkątach \(\displaystyle{ ADF}\) i \(\displaystyle{ BCF}\) są prostopadłe.

Ponewor pisze:

Ukryta treść:    

że Apoloniusz to oczywiste, ta widoczność pod tym samym kątem równoważna jest temu, że \(\displaystyle{ P}\) leży na okręgu Apoloniusza środków i stosunku takim jak ich promienie, co dalej równoważne jest współpękowości wspólnych stycznych zewnętrznych, prostej przez środki i prostej \(\displaystyle{ BC}\). Co jednak z tego?