[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Ukryta treść:    
Niech \(\displaystyle{ \omega}\) będzie okręgiem wpisanym w \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) stycznym do \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ D}\). Okrąg \(\displaystyle{ o}\) przechodzi przez punkty \(\displaystyle{ B, \ C}\) i jest styczny do \(\displaystyle{ \omega}\) w punkcie \(\displaystyle{ T}\). Prosta \(\displaystyle{ AT}\) przecina \(\displaystyle{ o}\) w punkcie \(\displaystyle{ K}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ \angle BKT= \angle CKD}\)
emil99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: emil99 »

Ukryta treść:    
Nowe:
Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) oraz okrąg \(\displaystyle{ o}\) przechodzący przez punkty \(\displaystyle{ B}\) i \(\displaystyle{ C}\). Niech \(\displaystyle{ \omega}\) będzie okręgiem stycznym do \(\displaystyle{ AB}\), \(\displaystyle{ AC}\) oraz do okręgu \(\displaystyle{ o}\) w punkcie \(\displaystyle{ T}\). Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\), a punkt \(\displaystyle{ J}\) jest takim punktem na \(\displaystyle{ BC}\), że \(\displaystyle{ AJ \parallel IT}\). \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem \(\displaystyle{ AJ}\), \(\displaystyle{ X = IT \cap BC}\), \(\displaystyle{ L = XM \cap \omega}\). Udowodnić, że okrąg opisany na trójkącie \(\displaystyle{ BLC}\) jest styczny do \(\displaystyle{ \omega}\).
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Ukryta treść:    
Dany jest czworokąt wypukły \(\displaystyle{ ABCD}\), niech \(\displaystyle{ P=AC\cap BD}\). Punkt \(\displaystyle{ Q}\) lezy wewnątrz \(\displaystyle{ \triangle APD}\) oraz \(\displaystyle{ \angle QAC=\angle QCA=\angle QBD=\angle QDB}\). Niech \(\displaystyle{ E=QB \cap AC,\ F=QC \cap BD}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ K}\) środek okręgu opisanego na \(\displaystyle{ \triangle APD}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ KQ}\) jest prostopadła do \(\displaystyle{ EF}\).
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Pinionrzek »

Poprzednie zadanie Ambro można zrobić jeszcze w istotnie różny sposób, z dwustosunku.
Ukryta treść:    
-- 28 gru 2015, o 16:06 --Kurde, przez dwa dni robiłem złe zadanie, bo źle to przeczytałem xD
Ukryta treść:    
Nowe zadanko:
Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ \triangle ABC}\). Niech dwusieczna wewnętrzna \(\displaystyle{ \angle A}\) przecina \(\displaystyle{ BC}\) w \(\displaystyle{ E}\), a okrąg \(\displaystyle{ \Omega}\) opisany na \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) w \(\displaystyle{ F \neq A}\). Przez \(\displaystyle{ D}\) oznaczmy punkt styczności okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) z \(\displaystyle{ BC}\). Rozważmy okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) przechodzący przez \(\displaystyle{ D, E, F}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ X, Y}\) punkty przecięcia \(\displaystyle{ \omega}\) z okręgiem dopisanym do \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) naprzeciw wierzchołka \(\displaystyle{ A}\). Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie punktem przecięcia \(\displaystyle{ \omega, \Omega}\) różnym od \(\displaystyle{ F}\). Udowodnić, że albo \(\displaystyle{ A, K, X}\), albo \(\displaystyle{ A, K, Y}\) są współliniowe.
Bolciak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 21 lut 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Bolciak »

Ukryta treść:    
Nowe, bardziej drugoetapodobne zadanko :
Na płaszczyźnie dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) jest styczny do boków \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) oraz przecina bok \(\displaystyle{ BC}\) w punktach \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\), przy czym \(\displaystyle{ K}\) leży bliżej \(\displaystyle{ B}\) niż \(\displaystyle{ C}\). Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ P}\) jest punktem przecięcia przekątnych czworokąta \(\displaystyle{ DKLE}\), to prosta \(\displaystyle{ AP}\) jest prostopadła do prostej \(\displaystyle{ BC}\) wtedy i tylko wtedy, gdy odcinek \(\displaystyle{ KL}\) jest średnicą okręgu \(\displaystyle{ \omega}\).
emil99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: emil99 »

Ukryta treść:    
Nowe:
Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\) oraz okrąg \(\displaystyle{ \omega}\) wpisany w ten trójkąt. Punkt \(\displaystyle{ D}\) jest punktem styczności \(\displaystyle{ BC}\) z \(\displaystyle{ \omega}\). Punkt \(\displaystyle{ E}\) leży na odcinku \(\displaystyle{ AD}\). Punkty \(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\) to przecięcia okręgu \(\displaystyle{ \omega}\) odpowiednio z odcinkami \(\displaystyle{ BE}\) i \(\displaystyle{ CE}\). Wykazać, że proste \(\displaystyle{ AD, BL, CK}\) przecinają się w jednym punkcie.
Bolciak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 21 lut 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Bolciak »

Ukryta treść:    
Nowe:
Dane są trzy okręgi \(\displaystyle{ \omega}\), \(\displaystyle{ \omega_{1}}\) i \(\displaystyle{ \omega_{2}}\), takie że \(\displaystyle{ \omega_{1}}\) jest styczny zewnętrznie do \(\displaystyle{ \omega_{2}}\) w \(\displaystyle{ Z}\), zaś oba \(\displaystyle{ \omega_{1}}\), \(\displaystyle{ \omega_{2}}\) są styczne wewnętrznie do \(\displaystyle{ \omega}\) w odpowiednio punktach \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\). Niech \(\displaystyle{ k}\) - prosta styczna do \(\displaystyle{ \omega_{1}}\) i \(\displaystyle{ \omega_{2}}\) w punkcie \(\displaystyle{ Z}\), i \(\displaystyle{ K}\) = \(\displaystyle{ \omega}\) \(\displaystyle{ \cap}\) \(\displaystyle{ k}\) . Niech \(\displaystyle{ l}\) będzie wspólną styczną zewnętrzną \(\displaystyle{ \omega_{1}}\) i \(\displaystyle{ \omega_{2}}\), styczną do nich odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\), tak że \(\displaystyle{ K}\) jest po przeciwnej stronie prostej \(\displaystyle{ l}\) co \(\displaystyle{ Z}\). Niech \(\displaystyle{ J= l \cap XY}\) i \(\displaystyle{ H= KJ \cap \omega}\). Udowodnij, że proste \(\displaystyle{ HZ}\), \(\displaystyle{ XN}\) i \(\displaystyle{ YM}\) są współpękowe
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Pinionrzek »

Ukryta treść:    
-- 29 gru 2015, o 15:58 --Nowe zadanie: Dany jest trójkąt \(\displaystyle{ \triangle ABC}\), którego środkiem okręgu opisanego jest \(\displaystyle{ O}\), a środkiem ciężkości \(\displaystyle{ G}\). Niech \(\displaystyle{ D}\) będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ BC}\), a przez \(\displaystyle{ E}\) oznaczmy punkt przecięcia, który leży wewnątrz \(\displaystyle{ \triangle ABC}\), wysokości z \(\displaystyle{ A}\) z okręgiem o średnicy \(\displaystyle{ BC}\). \(\displaystyle{ F=EG \cap OD}\). Obierzmy na \(\displaystyle{ BC}\) takie punkty \(\displaystyle{ K, L}\), że \(\displaystyle{ FK \parallel OB, FL \parallel OC}\). Niech \(\displaystyle{ M}\) będzie punktem przecięcia prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ BC}\) w \(\displaystyle{ K}\) z \(\displaystyle{ AB}\). \(\displaystyle{ N}\) definiujemy analogicznie dla wierzchołka \(\displaystyle{ L}\) i \(\displaystyle{ AC}\). Udowodnić, że okrąg opisany na \(\displaystyle{ \triangle AMN}\) jest styczny do okręgu stycznego do \(\displaystyle{ OB, OC}\) w \(\displaystyle{ B, C}\).
Bolciak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 21 lut 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Bolciak »

Daj jakiegoś hinta czy coś, bo zadanie trochę już stoi, a II etap się zbliża (miejmy nadzieję, że takich hardkorów nie będzie).
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Pinionrzek »

hint
Ukryta treść:    
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Pinionrzek »

hint2
Ukryta treść:    
-- 8 lut 2016, o 11:55 --

Żeby coś tu się ruszyło, daję link do rozwiązania .

Nowe zadanie:
Dany jest \(\displaystyle{ \triangle ABC, \ AB<AC}\). Na prostych \(\displaystyle{ AB, \ AC}\) obieramy takie punkty \(\displaystyle{ P,
\ Q}\)
, że \(\displaystyle{ BP=CQ}\). Niech \(\displaystyle{ S=PQ \cap BC}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ M}\) środek łuku \(\displaystyle{ BAC}\), a przez \(\displaystyle{ I_1, \ I_2}\) kolejno środek okręgu wpisanego w \(\displaystyle{ \triangle CSQ}\) oraz środek okręgu dopisanego do \(\displaystyle{ \triangle BSP}\) naprzeciw wierzchołka \(\displaystyle{ P}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ MI_1=MI_2}\).-- 8 lut 2016, o 16:58 --Mała poprawka do poprzedniego posta, powinno być: okrąg dopisany do \(\displaystyle{ \triangle BSP}\) naprzeciw wierzchołka \(\displaystyle{ S}\).
Awatar użytkownika
Htorb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 120
Rejestracja: 5 sie 2013, o 20:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Końskie
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 17 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Htorb »

Ukryta treść:    
Punkty \(\displaystyle{ I, \ J}\) to odpowiednio środek okręgu wpisanego i dopisanego do \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) stycznego do odcinka \(\displaystyle{ BC}\). Okręgi opisane na \(\displaystyle{ \triangle AIB, \ \triangle AIC}\) przecinają \(\displaystyle{ CA, \ AB}\) odpowiednio w \(\displaystyle{ E, \ F}\). Prosta styczna w punkcie \(\displaystyle{ A}\) do okręgu opisanego na \(\displaystyle{ \triangle AEF}\) przecina \(\displaystyle{ BC}\) w \(\displaystyle{ D}\). Pokazać, że \(\displaystyle{ DA=DJ}\).
Bolciak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12
Rejestracja: 21 lut 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Bolciak »

Ukryta treść:    
Nowe zadanie :
Niech \(\displaystyle{ ABCD}\) będzie czworokątem wpisanym w okrąg \(\displaystyle{ \omega}\). Niech \(\displaystyle{ AB \cap CD =E}\), \(\displaystyle{ AD \cap BC =F}\). Okrąg o średnicy \(\displaystyle{ EF}\) przecina \(\displaystyle{ \omega}\) w punktach \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\). Niech \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\) - środki przekątnych \(\displaystyle{ ABCD}\). Wykaż, że okręgi: \(\displaystyle{ \omega}\) i opisany na \(\displaystyle{ MXN}\) są styczne w punkcie \(\displaystyle{ X}\).
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Pinionrzek »

Ukryta treść:    
-- 5 mar 2016, o 13:31 --

Zadanko:
Niech \(\displaystyle{ \triangle ABC}\) będzie trójkątem. Rozważmy takie punkty \(\displaystyle{ P, \ Q}\) na zewnątrz \(\displaystyle{ \triangle ABC}\), że \(\displaystyle{ AP=AB, \ AQ=AC}\) oraz \(\displaystyle{ \angle BAP=\angle CAQ}\). Niech \(\displaystyle{ R=BQ \cap CP}\). Pokazać, że jeżeli \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na\(\displaystyle{ \triangle BCR}\), to\(\displaystyle{ AO \perp PQ}\).
Pinionrzek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 393
Rejestracja: 22 wrz 2013, o 21:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bonn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 63 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Pinionrzek »

Żeby coś się ruszyło, daję hinta.
Ukryta treść:    
-- 5 kwi 2016, o 16:56 --Tu znajduje się szeroka gama rozwiązań poprzedniego zadania :.

Nowe zadanie:
Niech \(\displaystyle{ D}\) będzie spodkiem wysokości wierzchołka \(\displaystyle{ A}\) w \(\displaystyle{ \triangle ABC}\). Oznaczmy przez \(\displaystyle{ D'}\) punkt symetryczny do \(\displaystyle{ D}\) względem środka odcinka \(\displaystyle{ BC}\), \(\displaystyle{ X}\) przecięcie stycznych do \(\displaystyle{ \bigcirc(ABC)}\) w \(\displaystyle{ B, \ C}\). Niech prosta prostopadła do \(\displaystyle{ XD'}\) przechodząca przez \(\displaystyle{ D'}\) przecina \(\displaystyle{ AB, \ AC}\) w \(\displaystyle{ Y, \ Z}\). Pokazać, że: \(\displaystyle{ \angle ZXC= \angle YXB}\).
ODPOWIEDZ