[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
danioto
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 19 lis 2008, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: danioto »

Witam!
Ze swojej skromnej strony proponuję podobną zabawę z planimetrią, jak z dobrze rozwiniętymi nierównościami. Zasada mogłaby być ta sama, a nóż temat się rozwinie podobnie
Proponuję również, by troszeczkę wbrew nazwie tematu nie wrzucać jakiś kosmicznych zadań, tylko tak na poziomie II/III Etapu OM.

Pozdrawiam!

Problem 1:
Punkt O jest środkiem okręgu \(\displaystyle{ \omega}\) opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Punkt D różny od punktów A i C leży na łuku AC nie zawierającym punktu B. Punkt E leży na boku AB, przy czym \(\displaystyle{ \angle ADE = \angle OBC}\), zaś punkt F leży na boku BC i spełnia równość \(\displaystyle{ \angle CDF= \angle OBA}\). Dowieść, że angle DEF = angle DOC oraz \(\displaystyle{ \angle DFE = \angle DOA}\).
Ostatnio zmieniony 20 maja 2012, o 14:48 przez Sylwek, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa nazwy tematu.
Awatar użytkownika
Manolin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 78
Rejestracja: 29 sty 2009, o 17:59
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Manolin »

Rozwiązanie problema 1
Ukryta treść:    
A oto Problem 2
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
danioto
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 19 lis 2008, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: danioto »

Rozwiązanie problemu 2:
Ukryta treść:    
Problem 3:
Niech \(\displaystyle{ \omega_{1}}\) będzie okręgiem opisanym na trójkącie ABC. Okrąg \(\displaystyle{ \omega_{2}}\) jest styczny do AB i AC odpowiednio w punktach P i Q oraz jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ \omega_{1}}\). Dowieść, że środek odcinka PQ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Swistak »

danioto pisze:Zasada mogłaby być ta sama, a nóż temat się rozwinie podobnie
Przeprowadzasz dowód przez sztućce?

Teraz coś, aby się zabezpieczyć :
Z pewnością ten środek leży na dwusiecznej kąta BAC, więc mamy jakiś wniosek .
Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 765
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 88 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Elvis »

Temat trochę umarł, a szkoda, więc chyba nikt nie będzie miał do mnie pretensji, jeśli wrzucę cudze rozwiązanie problemu 3.
Ukryta treść:    
Problem 4
W czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCD}\):
\(\displaystyle{ M = M(AC) \\
\sphericalangle BAD = \sphericalangle BMC = \sphericalangle DMC}\)

Udowodnij, że na czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) można opisać okrąg.
patry93
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1251
Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
Podziękował: 352 razy
Pomógł: 33 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: patry93 »

Co oznacza: \(\displaystyle{ M = M(AC)}\)?

[edit do postu niżej]
W sumie pasowałoby: M-middle
Ostatnio zmieniony 7 mar 2010, o 21:28 przez patry93, łącznie zmieniany 1 raz.
pawelsuz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 569
Rejestracja: 15 gru 2008, o 18:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BK
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 40 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: pawelsuz »

Może M jest środkiem AC?:d
Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 765
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 88 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Elvis »

Oczywiście. Wydawało mi się, że jest to szerzej znane oznaczenie środka odcinka. Zresztą sami do tego doszliście.
Awatar użytkownika
danioto
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 19 lis 2008, o 17:45
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chełm

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: danioto »

Rozwiązanie problemu 4:
Ukryta treść:    
Problem 5:
W trójkącie ABC środkowe poprowadzone do boków AB i AC przecinają się pod kątem prostym. Wykazać, że
\(\displaystyle{ \ctg \beta + \ctg \gamma \ge \frac{2}{3}}\)
Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 765
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 88 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Elvis »

Kilka uwag:
Ukryta treść:    
Rozwiązanie problemu 5:
Ukryta treść:    
Jak mniemam, obowiązuje problem 4.
waral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 14 sty 2009, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Katowice
Pomógł: 3 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: waral »

4.
Ukryta treść:    
6. Środkowe \(\displaystyle{ A A_{1},C C_{1}}\) w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ M}\). Udowodnić, że jeśli w \(\displaystyle{ A_{1}B C_{1}M}\) da się wpisać okrąg, to \(\displaystyle{ AB=BC}\).
binaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 547
Rejestracja: 20 lis 2007, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bielsko-Biała
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 120 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: binaj »

6.
Ukryta treść:    
7. W trójkącie ABC punkty K i L są rzutami prostokątnymi wierzchołków B i C na dwusieczną kąta BAC, punkt M jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka A, a punkt N jest środkiem boku BC. Wykazać, że punkty K,L,M,N lezą na jednym okręgu.
waral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 14 sty 2009, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Katowice
Pomógł: 3 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: waral »

7.
Ukryta treść:    
8. Dwa okręgi, które nie mają punktów wspólnych są styczne zewnętrznie do prostej k(odpowiednio w punktach P i Q) i styczne wewnętrznie do prostej l (odpowiednio w punktach X i Y).
Wykazać, że punkt przecięcia prostych PX i QY leży na prostej łączącej środki tych okręgów.
Awatar użytkownika
Elvis
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 765
Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 88 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: Elvis »

Jest prawie takie samo, jak zadanie 3. z II etapu rok temu.

8.
Ukryta treść:    
9. Punkty \(\displaystyle{ A, \ B, \ C, \ D}\) leżą na okręgu \(\displaystyle{ o}\) w tej właśnie kolejności. Punkt \(\displaystyle{ S}\) leży wewnątrz okręgu \(\displaystyle{ o}\) i spełnia warunki \(\displaystyle{ \sphericalangle SAD = \sphericalangle SCB}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle SDA = \sphericalangle SBC}\). Prosta zawierająca dwusieczną kąta \(\displaystyle{ ASB}\) przecina okrąg \(\displaystyle{ o}\) w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ PS=QS}\).
waral
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 14 sty 2009, o 21:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Katowice
Pomógł: 3 razy

[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria

Post autor: waral »

9. też wygląda znajomo:>
Ukryta treść:    
10. Dany jest punkt C na odcinku AB. Prosta przechodząca przez C przecina okręgi o średnicach AC i BC w punktach K i L oraz okrąg o średnicy AB w punktach M,N. Udowodnić, że KM=LN.
ODPOWIEDZ