[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Witam!
Ze swojej skromnej strony proponuję podobną zabawę z planimetrią, jak z dobrze rozwiniętymi nierównościami. Zasada mogłaby być ta sama, a nóż temat się rozwinie podobnie
Proponuję również, by troszeczkę wbrew nazwie tematu nie wrzucać jakiś kosmicznych zadań, tylko tak na poziomie II/III Etapu OM.
Pozdrawiam!
Problem 1:
Punkt O jest środkiem okręgu \(\displaystyle{ \omega}\) opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Punkt D różny od punktów A i C leży na łuku AC nie zawierającym punktu B. Punkt E leży na boku AB, przy czym \(\displaystyle{ \angle ADE = \angle OBC}\), zaś punkt F leży na boku BC i spełnia równość \(\displaystyle{ \angle CDF= \angle OBA}\). Dowieść, że angle DEF = angle DOC oraz \(\displaystyle{ \angle DFE = \angle DOA}\).
Ze swojej skromnej strony proponuję podobną zabawę z planimetrią, jak z dobrze rozwiniętymi nierównościami. Zasada mogłaby być ta sama, a nóż temat się rozwinie podobnie
Proponuję również, by troszeczkę wbrew nazwie tematu nie wrzucać jakiś kosmicznych zadań, tylko tak na poziomie II/III Etapu OM.
Pozdrawiam!
Problem 1:
Punkt O jest środkiem okręgu \(\displaystyle{ \omega}\) opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Punkt D różny od punktów A i C leży na łuku AC nie zawierającym punktu B. Punkt E leży na boku AB, przy czym \(\displaystyle{ \angle ADE = \angle OBC}\), zaś punkt F leży na boku BC i spełnia równość \(\displaystyle{ \angle CDF= \angle OBA}\). Dowieść, że angle DEF = angle DOC oraz \(\displaystyle{ \angle DFE = \angle DOA}\).
Ostatnio zmieniony 20 maja 2012, o 14:48 przez Sylwek, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa nazwy tematu.
Powód: Poprawa nazwy tematu.
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Rozwiązanie problemu 2:
Problem 3:
Niech \(\displaystyle{ \omega_{1}}\) będzie okręgiem opisanym na trójkącie ABC. Okrąg \(\displaystyle{ \omega_{2}}\) jest styczny do AB i AC odpowiednio w punktach P i Q oraz jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ \omega_{1}}\). Dowieść, że środek odcinka PQ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
Ukryta treść:
Niech \(\displaystyle{ \omega_{1}}\) będzie okręgiem opisanym na trójkącie ABC. Okrąg \(\displaystyle{ \omega_{2}}\) jest styczny do AB i AC odpowiednio w punktach P i Q oraz jest styczny do okręgu \(\displaystyle{ \omega_{1}}\). Dowieść, że środek odcinka PQ jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt ABC.
- Swistak
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 99 razy
- Pomógł: 87 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Przeprowadzasz dowód przez sztućce?danioto pisze:Zasada mogłaby być ta sama, a nóż temat się rozwinie podobnie
Teraz coś, aby się zabezpieczyć :
Z pewnością ten środek leży na dwusiecznej kąta BAC, więc mamy jakiś wniosek .
- Elvis
- Użytkownik
- Posty: 765
- Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 89 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Temat trochę umarł, a szkoda, więc chyba nikt nie będzie miał do mnie pretensji, jeśli wrzucę cudze rozwiązanie problemu 3.
Problem 4
W czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCD}\):
\(\displaystyle{ M = M(AC) \\
\sphericalangle BAD = \sphericalangle BMC = \sphericalangle DMC}\)
Udowodnij, że na czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) można opisać okrąg.
Ukryta treść:
W czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ ABCD}\):
\(\displaystyle{ M = M(AC) \\
\sphericalangle BAD = \sphericalangle BMC = \sphericalangle DMC}\)
Udowodnij, że na czworokącie \(\displaystyle{ ABCD}\) można opisać okrąg.
-
- Użytkownik
- Posty: 1251
- Rejestracja: 30 sty 2007, o 20:22
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koziegłówki/Wrocław
- Podziękował: 352 razy
- Pomógł: 33 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Co oznacza: \(\displaystyle{ M = M(AC)}\)?
[edit do postu niżej]
W sumie pasowałoby: M-middle
[edit do postu niżej]
W sumie pasowałoby: M-middle
Ostatnio zmieniony 7 mar 2010, o 21:28 przez patry93, łącznie zmieniany 1 raz.
- Elvis
- Użytkownik
- Posty: 765
- Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 89 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Oczywiście. Wydawało mi się, że jest to szerzej znane oznaczenie środka odcinka. Zresztą sami do tego doszliście.
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Rozwiązanie problemu 4:
Problem 5:
W trójkącie ABC środkowe poprowadzone do boków AB i AC przecinają się pod kątem prostym. Wykazać, że
\(\displaystyle{ \ctg \beta + \ctg \gamma \ge \frac{2}{3}}\)
Ukryta treść:
W trójkącie ABC środkowe poprowadzone do boków AB i AC przecinają się pod kątem prostym. Wykazać, że
\(\displaystyle{ \ctg \beta + \ctg \gamma \ge \frac{2}{3}}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 14 sty 2009, o 21:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Katowice
- Pomógł: 3 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
4.
6. Środkowe \(\displaystyle{ A A_{1},C C_{1}}\) w trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ M}\). Udowodnić, że jeśli w \(\displaystyle{ A_{1}B C_{1}M}\) da się wpisać okrąg, to \(\displaystyle{ AB=BC}\).
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 547
- Rejestracja: 20 lis 2007, o 15:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bielsko-Biała
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 120 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
6.
7. W trójkącie ABC punkty K i L są rzutami prostokątnymi wierzchołków B i C na dwusieczną kąta BAC, punkt M jest spodkiem wysokości poprowadzonej z wierzchołka A, a punkt N jest środkiem boku BC. Wykazać, że punkty K,L,M,N lezą na jednym okręgu.
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 14 sty 2009, o 21:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Katowice
- Pomógł: 3 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
7.
8. Dwa okręgi, które nie mają punktów wspólnych są styczne zewnętrznie do prostej k(odpowiednio w punktach P i Q) i styczne wewnętrznie do prostej l (odpowiednio w punktach X i Y).
Wykazać, że punkt przecięcia prostych PX i QY leży na prostej łączącej środki tych okręgów.
Ukryta treść:
Wykazać, że punkt przecięcia prostych PX i QY leży na prostej łączącej środki tych okręgów.
- Elvis
- Użytkownik
- Posty: 765
- Rejestracja: 17 paź 2004, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 89 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
Jest prawie takie samo, jak zadanie 3. z II etapu rok temu.
8.
9. Punkty \(\displaystyle{ A, \ B, \ C, \ D}\) leżą na okręgu \(\displaystyle{ o}\) w tej właśnie kolejności. Punkt \(\displaystyle{ S}\) leży wewnątrz okręgu \(\displaystyle{ o}\) i spełnia warunki \(\displaystyle{ \sphericalangle SAD = \sphericalangle SCB}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle SDA = \sphericalangle SBC}\). Prosta zawierająca dwusieczną kąta \(\displaystyle{ ASB}\) przecina okrąg \(\displaystyle{ o}\) w punktach \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ PS=QS}\).
8.
Ukryta treść:
-
- Użytkownik
- Posty: 57
- Rejestracja: 14 sty 2009, o 21:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Katowice
- Pomógł: 3 razy
[Rozgrzewka OM][MIX][Planimetria] Planimetria
9. też wygląda znajomo:>
10. Dany jest punkt C na odcinku AB. Prosta przechodząca przez C przecina okręgi o średnicach AC i BC w punktach K i L oraz okrąg o średnicy AB w punktach M,N. Udowodnić, że KM=LN.
Ukryta treść: