[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13374
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22458
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 3852 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Oooops, sorry.
Jak się nie udało z kontrprzykładem, to trzeba udowodnić
.
Skoro `W` ma `n` pierwiastków rzeczywistych, to jego `n-2` pochodna ma ich dwa, (z uwzględnieniem krotności) czyli wyróżnik `W^{(n-2)}` jest nieujemny.
\(\displaystyle{ W^{(n-2)}(x)=(n-2)\cdot\dots\cdot 3\left[n(n-1)x^2+2(n-1)a_1x+2a_2\right]}\) a wyróżnik tego, co w nawiasie kwadratowym, jest równy
\(\displaystyle{ 4(n-1)\left[(n-1)a_1^2-2na_2\right]}\), co kończy dowód.
Jak się nie udało z kontrprzykładem, to trzeba udowodnić
.Skoro `W` ma `n` pierwiastków rzeczywistych, to jego `n-2` pochodna ma ich dwa, (z uwzględnieniem krotności) czyli wyróżnik `W^{(n-2)}` jest nieujemny.
\(\displaystyle{ W^{(n-2)}(x)=(n-2)\cdot\dots\cdot 3\left[n(n-1)x^2+2(n-1)a_1x+2a_2\right]}\) a wyróżnik tego, co w nawiasie kwadratowym, jest równy
\(\displaystyle{ 4(n-1)\left[(n-1)a_1^2-2na_2\right]}\), co kończy dowód.
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13374
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Nietypowo... Zwykle robią to z \(\displaystyle{ a_1^2 = \sum_{j=1}^{n} r_j^2 + 2a_2 }\).
Jeżeli ktoś ma zadanie, które uważa za odpowiednie do zamieszczenia tutaj, to proszę bardzo.
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 22458
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 3852 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Dla dowolnego `n>3` skonstruować zbiór `n` odcinków o tej własności, że można z nich zbudować wielokąt wpisany w okrąg, ale nie da się tego zrobić z żadnego podzbioru właściwego.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Obawiam się, że to nie jest kontrprzykład, w tym przypadku $$n=2, \ a_1=0, \ a_2=-1$$ i nierówność zachodzi.
Ogólnie to jakaś mało kreatywna zwijanka. Z Viete'a wyznaczamy $$a_1, a_2$$ w zależności od pierwiastków i to się chyba nawet zwija do kwadratów.
PS Admin to klaun firmy Braun, trzy-cztery zęby wystają mu z gęby, trzy-cztery słupy wystają mu... z chałupy. Admin to Batyr, ma gębę jak satyr, nosi kalesony firmy Sony, uprawia pola jak ja zakola.
Ogólnie to jakaś mało kreatywna zwijanka. Z Viete'a wyznaczamy $$a_1, a_2$$ w zależności od pierwiastków i to się chyba nawet zwija do kwadratów.
PS Admin to klaun firmy Braun, trzy-cztery zęby wystają mu z gęby, trzy-cztery słupy wystają mu... z chałupy. Admin to Batyr, ma gębę jak satyr, nosi kalesony firmy Sony, uprawia pola jak ja zakola.
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13374
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
szkicowo, to kolejne boki (cięciwy ) muszą rosnąć co najmniej jak ciąg Fibonacciego , ale to tylko motywacja....
Przykład
Przykład
- Załączniki
-
- fff2.jpg (8.81 KiB) Przejrzano 20554 razy
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 13374
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3425 razy
- Pomógł: 809 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Jeśli tak to jest to chociaż przykład dla \(\displaystyle{ n=4 }\)....
-
Kartezjusz
- Użytkownik
- Posty: 7336
- Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
- Podziękował: 6 razy
- Pomógł: 961 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Ale czy ten wielokąt da się wpisać w okrąg...a4karo pisze: 19 cze 2025, o 15:22 Fibonacci jest za słaby. Z każdych czterech kolejnych da się zrobić wielokąt
Dla \(\displaystyle{ n=4}\) ciąg odcinków długości \(\displaystyle{ 1,2,3,5}\) buduje co najmniej 1 czworokąt wpisany w okrąg , ale dla żadnej trójki z sześciu nie da się zbudować trójkąta
Ostatnio zmieniony 26 cze 2025, o 23:38 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.