[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11480
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3158 razy
- Pomógł: 749 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
To wynika z wypukłości f (lewa strona nierówności) na każda zmienną tj. gdy maksimum jest na krańcu przedziału oraz tego, że w tych ośmiu punktach ma wartość \(\displaystyle{ 1 }\)
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11480
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3158 razy
- Pomógł: 749 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Inna z Kwanta:
Udowodnić, że jeśli liczby \(\displaystyle{ x, y }\) są dodatnie, to \(\displaystyle{ x 2^y + y 2^{-x} \geq x+y.}\)
Udowodnić, że jeśli liczby \(\displaystyle{ x, y }\) są dodatnie, to \(\displaystyle{ x 2^y + y 2^{-x} \geq x+y.}\)
Ostatnio zmieniony 13 lip 2022, o 17:15 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Interpunkcja.
Powód: Interpunkcja.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Ukryta treść:
Nowe zadanie:
niech \(\displaystyle{ n\ge 2}\) będzie ustaloną liczbą całkowitą dodatnią i niech \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots a_n\in \RR^+, \ a_1+a_2+\ldots+a_n=2^n-1}\).
Proszę znaleźć minimum
\(\displaystyle{ \frac{a_1}{1}+\frac{a_2}{1+a_1}+\ldots+\frac{a_n}{1+a_1+\ldots+a_{n-1}}}\).
- timon92
- Użytkownik
- Posty: 1660
- Rejestracja: 6 paź 2008, o 16:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 473 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Ukryta treść:
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Ukryta treść:
niech \(\displaystyle{ m>n>0}\) i niech liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ x, \ y, \ z}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x^{m+n}+y^{m+n}+z^{m+n}=3}\).
Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{x^m}{y^n}+\frac{y^m}{z^n}+\frac{z^m}{x^n}\ge 3}\).
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Oj tam, oj tam. Świat byłby dużo prostszy, gdyby zachodziło \(\displaystyle{ \frac 5 4=1,2}\) (a tak właśnie pomyślałem, pisząc tę kaszanę). xDDD
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Dobra, teraz wrzucę poprawne rozwiązanie, posypawszy głowę popiołem.
Ukryta treść:
Ostatnio zmieniony 15 wrz 2022, o 10:01 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
Bump. Chyba teraz jest dobrze, więc czas na:
Premislav pisze: ↑14 wrz 2022, o 15:49
Nowe zadanie:
niech \(\displaystyle{ m>n>0}\) i niech liczby rzeczywiste dodatnie \(\displaystyle{ x, \ y, \ z}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x^{m+n}+y^{m+n}+z^{m+n}=3}\).
Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{x^m}{y^n}+\frac{y^m}{z^n}+\frac{z^m}{x^n}\ge 3}\).
-
- Użytkownik
- Posty: 1668
- Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
- Płeć: Kobieta
- Podziękował: 71 razy
- Pomógł: 448 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
To zadanie trzeba odczarować, bo ktoś jeszcze gotów byłby pomyśleć, że ono jest trudne.
Dla \(a,b,c>0\) udowodnij \[\frac{2a^4+a^2b^2}{\left(b^2+c^2+ca\right)^2}+\frac{2b^4+b^2c^2}{\left(c^2+a^2+ab\right)^2}+\frac{2c^4+c^2a^2}{\left(a^2+b^2+bc\right)^2}\ge 1.\]
Dla \(a,b,c>0\) udowodnij \[\frac{2a^4+a^2b^2}{\left(b^2+c^2+ca\right)^2}+\frac{2b^4+b^2c^2}{\left(c^2+a^2+ab\right)^2}+\frac{2c^4+c^2a^2}{\left(a^2+b^2+bc\right)^2}\ge 1.\]
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15688
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności
^Robi wrażenie, zdecydowanie zgrabniejsza metoda.
Nowe zadanie: niech \(\displaystyle{ x,y,z\ge 0}\). Wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{25(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^2} \ge 8.}\)
Nowe zadanie: niech \(\displaystyle{ x,y,z\ge 0}\). Wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}+\frac{25(xy+yz+zx)}{(x+y+z)^2} \ge 8.}\)