[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

justynian · Post autor: **justynian** » 14 lis 2010, o 19:48

Nie tutaj miał być ten post, przepraszam ...

Luxxar · Post autor: **Luxxar** » 14 lis 2010, o 19:52

Piotr Rutkowski pisze:Myślę że czas zapoznać forumowiczów z kilkoma znanymi w niektórych kręgach nierównościami.

Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ \forall_{a,b,c\in \mathbb{R}_{+}} \ (\sum_{cyc}a^{2})^{2}\geq 3\sum_{cyc}a^{3}b}\)

Może mnie ktoś oświecić i powiedzieć co znaczy
\(\displaystyle{ \sum_{cyc}}\)
\(\displaystyle{ (\sum_{cyc}a^{2})^{2}\ge ..}\)
Gnębi mnie ten "cyc" na dole

Dumel · Post autor: **Dumel** » 14 lis 2010, o 20:16

to wiadomo z kontekstu. jak rozważasz k zmiennych to
\(\displaystyle{ \sum_{cyc}^{}f(x_1,x_2,...,x_k)=f(x_1,...,x_k)+f(x_2,x_3,...,x_k,x_1)+...+f(x_k,x_1,...,x_{k-1})}\)

darek20 · Post autor: **darek20** » 14 lis 2010, o 22:31

jak bedzie ok to wtedy wrzuce nowe

Ukryta treść:

timon92 · Post autor: **timon92** » 14 lis 2010, o 22:35

jest źle, bo ta druga nierówność jest w drugą stronę

Przypominam treść aktualnego zadania:
\(\displaystyle{ x,y,z > 0, \quad x^2+y^2+z^2=3}\). Znaleźć minimum wyrażenia \(\displaystyle{ A = \frac{x^2+1}{x} +\frac{y^2+1}{y} +\frac{z^2+1}{z} - \frac{1}{x+y+z}}\)

kaszubki · Post autor: **kaszubki** » 14 lis 2010, o 22:39

Jest w dobrą. najpierw minus, czyli zmiana znaku, potem odwrotność czyli zmiana znaku. Jest git.

timon92 · Post autor: **timon92** » 14 lis 2010, o 22:43

jest źle, gdyż darek20 chce korzystać z nieprawdziwej nierówności \(\displaystyle{ (a+b+c)^2 \ge 3(a^2+b^2+c^2)}\)

darek20 · Post autor: **darek20** » 16 lis 2010, o 15:43

Ukryta treść:

podobne coś

\(\displaystyle{ x,y,z > 0, \quad x^2+y^2+z^2=1}\)

Znaleźć minimum \(\displaystyle{ A= \frac{1}{1-x} +\frac{1}{1-y}+ \frac{1}{1-z}}\)

timon92 · Post autor: **timon92** » 16 lis 2010, o 17:02

Ukryta treść:

nowe:
\(\displaystyle{ a,b,c}\) dodatnie. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{a^3+7abc}+\sqrt[3]{b^3+7abc}+\sqrt[3]{c^3+7abc} \le 2a+2b+2c}\)

ordyh · Post autor: **ordyh** » 16 lis 2010, o 18:18

Ukryta treść:

\(\displaystyle{ a,b,c>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{a}{2a+b+c} + \frac{b}{2b+c+a} + \frac{c}{2c+a+b} \leq \frac{3}{4}}\)

kaszubki · Post autor: **kaszubki** » 16 lis 2010, o 19:12

Ukryta treść:

nowe:
Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) będą dodatnie i \(\displaystyle{ abcd=1}\).
Wykaż, że \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \frac{1}{1+a+a^2+a^3} \ge 1}\).

adriano1992 · Post autor: **adriano1992** » 16 lis 2010, o 19:54

Ukryta treść:

Nowe: a,b,c>0
\(\displaystyle{ \sum_{cyc}^{} \frac{1}{a+b+1} \ge 1 \Rightarrow a+b+c \ge ab+bc+ac}\)

Halo, halo! kaszubki był pierwszy, więc obowiązuje jego zadanie.
tkrass

timon92 · Post autor: **timon92** » 16 lis 2010, o 20:22

rozwiązanie

Ukryta treść:

tkrass, rozwiązanie adriano1992 jest ok

nowe:

adriano1992 pisze:a,b,c>0
\(\displaystyle{ \sum_{cyc}^{} \frac{1}{a+b+1} \ge 1 \Rightarrow a+b+c \ge ab+bc+ac}\)

Post autor: **tkrass** » 16 lis 2010, o 20:36

Istotnie, jego rozwiązanie jest ok. Nie wczytywałem się, po prostu wydało mi się, że dane są x, y, z a nie a, b, c

kaszubki · Post autor: **kaszubki** » 16 lis 2010, o 20:39

Przegrałeś. Funkcja, której używasz NIE jest wypukła dla wszytskich \(\displaystyle{ x}\).

Chyba dalej obowiązuje moje zadanie