[Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Kartezjusz »

Ukryta treść:    
Ostatnio zmieniony 22 kwie 2023, o 22:55 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

No właśnie chyba niezupełnie (a raczej zupełnie nie) cbdo, bo po pierwsze te ciągi są przeciwnie uporządkowane, a po drugie dowodzimy, że ta suma jest mniejsza od jedynki, nie zaś od niej większa.
Ukryta treść:    
Jeżeli to jest do zaakceptowania, to oddaję kolejkę.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Bardzo ładne rozwiązanie. Moje jest zupełnie inne (tj. pierwszym moim rozwiązaniem, podobnie jak u Kartezjusza też był blef z Czebyszewa, chociaż nieco inny, bo nie pomyliłem (nie)uporządkowania - gdzie następnie w magiczny i tylko dla mnie zrozumiały sposób przerobiłem sumę kwadratów na kwadrat sumy, zobaczywszy to obraziłem się na siebie i nie wchodziłem na forum; w ogóle Czebyszew i ciągi jednomonotoniczne to chyba nierówności najbardziej podatne na blefy, obok Jensena z funkcją, która wygląda na wypukłą, a wcale taka nie jest).
Ukryta treść:    
Nowe zadanie:
niech \(\displaystyle{ a, b, c, \ d\ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ a+b+c+d=3}\). Proszę wykazać, że
\(\displaystyle{ \frac{ab}{4-a}+\frac{bc}{4-b}+\frac{cd}{4-c}+\frac{da}{4-d}\le 1}\).
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: mol_ksiazkowy »

Coś długo leży....

Dodano po 5 miesiącach 14 dniach 21 godzinach 50 minutach 45 sekundach:
Udowodnić że dla \(\displaystyle{ a,b, c >0 }\) mamy nierówność \(\displaystyle{ \frac{b+c}{a^2} + \frac{a+c}{b^2} + \frac{a+b}{c^2} \ge 2( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} )}\).
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Premislav »

Ukryta treść:    
Dodano po 2 minutach 38 sekundach:
A tamto poprzednie to było chyba z Mszany Dolnej 2022 (re. rok różnicy), nie podobało się dla mnie, ale liczyłem, że ktoś zaproponuje ciekawy dowód. Zapomnijmy o tym.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: mol_ksiazkowy »

Wydaje się, iż można też z n. Czebyszewa, ; :arrow: Premislavie przedstaw coś....
Ostatnio zmieniony 7 sty 2024, o 12:28 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Utumno
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 22 mar 2012, o 05:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Utumno »

a,b,c,d - liczby rzeczywiste dodatnie. Ich iloczyn jest równy 1. Dowieść, że

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd \geqslant 10 }\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Janusz Tracz »

\(\displaystyle{ a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd \ge 10 \sqrt[10]{ a^5b^5c^5d^5} =10 }\)

Oddaję. Choć formalnie chyba kolej Premislava?

PS @Mol
\(\displaystyle{ \frac{b+c}{a^2} + \frac{a+c}{b^2} + \frac{a+b}{c^2} \ge 2\Big( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \Big) \quad \Big| + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} }\)

\(\displaystyle{ \frac{a+b+c}{a^2} + \frac{a+b+c}{b^2} + \frac{a+b+c}{c^2} \ge 3\Big( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \Big) }\)

\(\displaystyle{ (a+b+c)\Big(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2}\Big) \ge 3\Big( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \Big) }\)

A to (wlog) jest nierówność Chebysheva w przypadku: \(\displaystyle{ a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{n}}\) oraz \(\displaystyle{ b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n}}\)
\(\displaystyle{ \sum_{}^{} a \sum_{}^{} b \ge n \sum_{}^{} ab.}\)
Ostatnio zmieniony 21 sty 2024, o 14:03 przez Janusz Tracz, łącznie zmieniany 2 razy.
Utumno
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 22 mar 2012, o 05:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Utumno »

Eh! Za łatwe.

a,b,c,d - liczby rzeczywiste dodatnie. Dowieść, że nie mogą równocześnie zachodzić wszystkie 3 nierówności

\(\displaystyle{ a + b < c + d }\)
\(\displaystyle{ (a+b)(c+d) < ab + cd }\)
\(\displaystyle{ (a+b)cd < ab(c+d) }\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Janusz Tracz »

Niech zajdą dwie pierwsze nierówności. Wtedy
\(\displaystyle{
\begin{split}
(a+b)ab & < (a+b)(a^2+ab+b^2)\\[1ex]
&= (a+b)((a+b)^2-ab)\\[1ex]
&< (a+b)((a+b)(c+d)-ab)\\[1ex]
&< (c+d)((a+b)(c+d)-ab)\\[1ex]
&< (c+d)(ab+cd-ab) = (c+d)cd\\[1ex]
\end{split}
}\)

Dodanie do tego trzeciego warunku spowoduje sprzeczność typu \(\displaystyle{ \frac{a+b}{c+d}< x }\) oraz\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c+d}< \frac{1}{x} }\).

Niech \(\displaystyle{ 0<a\le b}\) oraz \(\displaystyle{ 0<p\le q}\) wtedy
\(\displaystyle{ (b^p-a^p)^q\le (b^q-a^q)^p. }\)
Utumno
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 62
Rejestracja: 22 mar 2012, o 05:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 2 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Utumno »

Dzieląc stronami przez \(\displaystyle{ b^{pq}}\) i wprowadzając oznaczenie \(\displaystyle{ c = \frac{a}{b}}\), dostajemy postać równoważną \(\displaystyle{ (1 - c^p)^q \leqslant (1 - c^q)^p}\)

Niech teraz \(\displaystyle{ p + q = n}\) i \(\displaystyle{ f(x) = (1 - c^x)^{n-x}}\); wystarczy udowodnić, że f(x) jest rosnąca na \(\displaystyle{ x \in (0,n-1)}\) i \(\displaystyle{ 0 < c < 1}\). (dla \(\displaystyle{ c=1}\) teza jest oczywista)

Ale \(\displaystyle{ f'(x) = \left( \ln(\frac{1}{1-c^x}) + \frac{(n-x) \cdot c^x \cdot \ln(\frac{1}{c})}{1-c^x} \right) \cdot f(x)}\)

i dla \(\displaystyle{ c < 1}\) i \(\displaystyle{ x<n}\) obydwa składniki sumy w nawiasie sa oczywiście dodatnie, stąd teza.
Nie rozumiem - dlaczego
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{c+d} < x}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{a+b}{c+d}<\frac{1}{x}}\) to jest sprzeczność?
To może coś z innej beczki: niech a,b,c,d będą wektorami na płaszczyźnie. Niech ich suma wynosi 0. Udowodnić, że

\(\displaystyle{ |a| + |b| + |c| + |d| \geqslant |a+d| + |b+d| + |c+d| }\)
Ostatnio zmieniony 21 sty 2024, o 19:24 przez Utumno, łącznie zmieniany 2 razy.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Janusz, moim zdaniem w ogólności nie ma sprzeczności, weź \(a=3,b=2,c=1,d=6\). Proponuję coś w tym stylu:
\[4ab(c+d)\le (a+b)^2(c+d)=(a+b)\left((a+b)(c+d)\right)<(a+b)(ab+cd)=ab(a+b)+cd(a+b)<ab(a+b)+ab(c+d).\]

Dodano po 36 minutach 56 sekundach:
A, przepraszam, Ty na początku zakładałeś prawdziwość dwóch pierwszych, więc mój przykład jest zły, no ale Tobie powinna wyjść sprzeczność z trzecią - wyjaśnisz?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: Janusz Tracz »

bosa_Nike pisze: 21 sty 2024, o 19:52 wyjaśnisz?
Nie. Pomyłka.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: bosa_Nike »

Możliwe jest, że ponoszę winę za pewne zamieszanie, w wyniku którego zakopane zostało bieżące zadanie. Prostuję zatem sytuację.
Ukryta treść:    
Oddaję kolejkę.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11265
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [Rozgrzewka OM][MIX][Nierówności] Nierówności

Post autor: mol_ksiazkowy »

:arrow: \(\displaystyle{ \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{a+c}{b} \ge 4( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} ) }\) dla liczb dodatnich
ODPOWIEDZ