[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Swistak »

porfirion pisze:
Swistak pisze:dość podobne do dość znanego z \(\displaystyle{ m|n^2 +1}\) i \(\displaystyle{ n | m^2 + 1}\)
Pyka z Fibonacciego.
Prawda, ale chcąc zrobić wspomniane zadanie ze Zwardonia trzeba będzie jednak trochę dłużej posiedzieć . Także zachęcam !
ZFC
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 6 paź 2014, o 16:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy

Konkurs - przygotowanie do II etapu OM.

Post autor: ZFC »

Dobry wieczór. Proponuję następującą zabawę:

§1. Osoba, która rozwiązała ostatnie zadanie zamieszcza znalezione przez siebie rozwiązanie, po czym przedstawia kolejny problem.

Pierwsze zadanie (63. zadanie W. Pompe - ... /pompe.pdf):

Dany jest sześciokąt wypukły ABCDEF. Dowieść, że przeciwległe boki sześciokąta wypukłego, którego wierzchołkami są środki ciężkości trójkątów ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB są równoległe i równej długości.

Pozdrawiam.
Ostatnio zmieniony 20 lut 2016, o 15:48 przez Ponewor, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Taki łańcuszek już istnieje, więc przeniosłem posty. Zapraszam do zabawy.
vicossess
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 45
Rejestracja: 28 wrz 2015, o 20:47
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 4 razy

Konkurs - przygotowanie do II etapu OM.

Post autor: vicossess »

Rozwiązanie:
Ukryta treść:    
Problem ode mnie:
Liczba jest fajna wtedy i tylko wtedy, gdy jest równa \(\displaystyle{ 2}\) lub jest postaci \(\displaystyle{ 3^i\cdot5^j}\), gdzie \(\displaystyle{ i,j}\) są nieujemnymi liczbami całkowitymi.
Udowodnij, że każda liczba naturalna dodatnia może być zapisana jako pewna suma różnych liczb fajnych.
marcin7Cd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 139
Rejestracja: 31 gru 2013, o 13:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: łódź
Pomógł: 61 razy

Konkurs - przygotowanie do II etapu OM.

Post autor: marcin7Cd »

rozwiązanie(trochę brzydkie):
Ukryta treść:    
Problem:
Wielomiany \(\displaystyle{ P(x)}\) i \(\displaystyle{ Q(x)}\) mają po co najmniej jednym pierwiastku rzeczywistym ponad to \(\displaystyle{ P(1+x+Q(x)^2)=Q(1+x+P(x)^2)}\) dla każdego \(\displaystyle{ x\in R}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ P(x)=Q(x)}\) dla \(\displaystyle{ x\in R}\)
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Konkurs - przygotowanie do II etapu OM.

Post autor: mol_ksiazkowy »

Ukryta treść:    
Zadanie:
Czy istnieje ciąg nieskończony \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, ...}\) liczb naturalnych, taki że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ m}\), suma \(\displaystyle{ 2m-1}\) składników, tj. \(\displaystyle{ a_1^3 + ... + a_{2m-1}^3}\) jest sześcianem liczby naturalnej ?
Ostatnio zmieniony 18 lut 2016, o 18:50 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 1 raz.
TomciO
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 289
Rejestracja: 16 paź 2004, o 23:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 38 razy

Konkurs - przygotowanie do II etapu OM.

Post autor: TomciO »

Ukryta treść:    
Moje zadanie: udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), ciąg reszt z dzielenia przez \(\displaystyle{ n}\) liczb \(\displaystyle{ 2, 2^2, 2^{2^2}, 2^{2^{2^{2}}}, \ldots}\) jest od pewnego miejsca stały.
marcin7Cd
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 139
Rejestracja: 31 gru 2013, o 13:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: łódź
Pomógł: 61 razy

Konkurs - przygotowanie do II etapu OM.

Post autor: marcin7Cd »

Ukryta treść:    
Zadanie: Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d}\). Wielomian \(\displaystyle{ W}\) ma 4 pierwiastki rzeczywiste wykaż, że istnieje takie \(\displaystyle{ m}\), że \(\displaystyle{ W(x+m)=x^4+px^2+q}\) wtedy i tylko wtedy, gdy suma dwóch pierwiastków równiania \(\displaystyle{ W(x)=0}\) równa się sumie dwóch pozostałych.(Jest ładne rozwiązanie tego zadanie)
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

Konkurs - przygotowanie do II etapu OM.

Post autor: Zahion »

Ukryta treść:    


Nowe : Niech \(\displaystyle{ a, b, c > 0}\) takie, że \(\displaystyle{ a + b + c = abc}\). Wykaż, że \(\displaystyle{ \left( a-1\right)\left( b-1\right)\left( c-1\right) \le 6 \sqrt{3} -10}\)

Ułatwienie wprowadziłem.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Premislav »

eleganckie i zwarte rozwiązanie:    
Mógłbyś napisać, jak do jasnej ciasnej ktoś miałby wymyślić (bez mnożników Lagrange'a etc.), przez co ograniczyć z góry i z dołu lub jak wpaść na to, że np. minimum nie istnieje (nie wiem czy nie istnieje, nie liczyłem)? [to a propos poprzedniej wersji]
+spodziewam się, że znasz ładniejsze rozwiązanie, więc nie pogardziłbym takowym, jeśli byłbyś tak uprzejmy. Jedyna zaleta mojego syfu to elementarność rozumowania.

Nowe zadanie: pozwolę sobie zacytować, bo chyba zostało zapomniane, a chciałbym znać rozwiązanie:
bosa_Nike pisze:Nie używając pochodnych znaleźć wartość największą i najmniejszą wyrażenia \(\displaystyle{ \left(x^3+1\right)\left(y^3+1\right)}\) z warunkiem \(\displaystyle{ x+y=1}\) w przypadku:
a) \(\displaystyle{ x,y\ge 0}\)
b) \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R}}\)
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Zahion »

Ukryta treść:    
Coś miłego i przyjemnego :
Niech \(\displaystyle{ a, b, c \ge 0}\), wykaż, że \(\displaystyle{ \prod_{}^{} \left( a^{2}-ab+b^{2}\right) \ge \prod_{}^{} \left( a-b\right)^{2}}\)

To zadanie nie ma ładnego rozwiązania, można je przenieść na funkcje trygonometryczne, ale też nie wygląda pięknie.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: bosa_Nike »

Krótkie wyjaśnienie. Poprzednie zadanie znalazłam w spoilerze do Old and New Inequalities vol.2 i brzmiało ono:
8.) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức của: \(\displaystyle{ \left(x^3+1\right)\left(y^3+1\rigt)}\)
Cho các số thực \(\displaystyle{ x, y}\) thỏa nãm điều kiện \(\displaystyle{ x+y=1}\).
Nie mając akurat możliwości przetłumaczenia, rozwiązywałam uwzględniając wszystkie opcje... Dużo później, już znając treść, znalazłam to zadanie w Romanian Mathematical Olympiad 2006 - finał dziewiątoklasistów. Tam m.in. pokazali coś takiego: \(\displaystyle{ \left(x^3+(x+y)^3\right)\left(y^3+(x+y)^3\right)\le 4(x+y)^6}\)
To w ramach ciekawostki. Już mnie nie ma.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Premislav »

Zahion, jak wykazać prawdziwość pierwszej nierówności z Twojego rozwiązania? Wygląda jak jakieś uogólnienie Cauchy'ego-Schwarza. Ja tu widzę (przepraszam za tępotę) taką strukturę:
\(\displaystyle{ \left( \frac{7}{8}+a^{3}+b^{3} \right)\left( \frac{7}{8}+c^{3}+d^{3} \right) \left( \frac{7}{8}+e^{3}+f^{3} \right) \ge \left( \frac{7}{8}+ace+bdf \right)^{3}}\)
ale nie wiem, co to.
Rozwiązanie aktualnego zadania:
Ukryta treść:    
Jak już tak dobrze poszło z nierównością bosej_Nike (ordynarnie zgadłem wyniki, ale nie umiałem udowodnić, właśnie nierówność, nad którą przeszedłeś pisząc "oczywiście" umiałem zrobić tylko z pochodnych :cry: ), to kolejne, nad którym trochę siedziałem, a też już dwa miesiące ma:
rochaj pisze:Niech \(\displaystyle{ a,b,c>0}\) ,\(\displaystyle{ \sum a^{3}=3}\). Pokaż że \(\displaystyle{ \sum \frac{ab}{c} \geq 3}\).
BTW Przydałoby się, żeby ktoś wywalił apostrofy po wymawianych spółgłoskach w nazwiskach z tego artykułu, bo jest to "odrobinę" drażniące.

-- 26 lut 2016, o 00:06 --

Aha, bez sensu, w moim rozwiązaniu wystarczyło założyć, że co najwyżej jedna z liczb \(\displaystyle{ a,b,c}\) jest zerem i już można było pomnożyć. Nawet w tak prostym zadaniu coś bez sensu piszę.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Zahion »

Tak, jest to uogólniona nierówność - " Holder inequality extension " powinno wyszukać jakieś informacje. Intuicja dobrze Ci podpowiada .
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: bosa_Nike »

Premislav, nierówność rochaja jest fałszywa, daj sobie spokój.

EDIT: Nie ma co powtarzać moich błędów, spędziłam nad nią trochę czasu zanim to do mnie dotarło. Wystarczy wziąć np. \(\displaystyle{ (a,b,c)=(3t,t,t),\ 29t^3=3}\) i się sypie.
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

[Rozgrzewka OM][MIX] Łańcuszek olimpijski

Post autor: Premislav »

No faktycznie coś jest, dzięki, poczytam.
@bosa_Nike: dziękuję bardzo za ostrzeżenie. No to zamiast tego wrzucę coś prościutkiego i już sobie idę z tego wątku:
\(\displaystyle{ a,b}\) i \(\displaystyle{ c}\) są dodatnimi liczbami rzeczywistymi, spełniającymi nierówność
\(\displaystyle{ (\sqrt{a} +\sqrt{b} +\sqrt{c})(a+1)(b+1)(c+1)\leq 8abc}\). Proszę pokazać, że \(\displaystyle{ a+b+c \ge 9}\).
ODPOWIEDZ