Wiedząc, że \(\displaystyle{ a, b, c \in N}\) wyznacz rozwiązania
\(\displaystyle{ \frac{a + b}{c} + \frac{b + c}{a} + \frac{a + c}{b} = a + b + c}\)
[Równania] Wyznacz rozwiązania
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
Ponewor
- Moderator
- Posty: 2218
- Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 70 razy
- Pomógł: 297 razy
[Równania] Wyznacz rozwiązania
BSO \(\displaystyle{ a \ge b \ge c}\).
Niech \(\displaystyle{ c > 2}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ a+b+c=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} < \frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=a+b+c}\)
Sprzeczność. Niech \(\displaystyle{ c=2}\).
\(\displaystyle{ \frac{b+2}{a}+\frac{a+2}{b}=\frac{a+b}{2}+2}\)
Niech \(\displaystyle{ b > 2}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}+2=\frac{b+2}{a}+\frac{a+2}{b} < \frac{b+2}{2}+\frac{a+2}{2}=\frac{a+b}{2}+2}\)
Niech \(\displaystyle{ b=2}\). Wtedy i \(\displaystyle{ a=2}\). Niech \(\displaystyle{ c=1}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{b+1}{a}+\frac{a+1}{b}=1}\)
I sprzeczność, bo \(\displaystyle{ a \ge b \Rightarrow a+1 > b \Rightarrow \frac{a+1}{b} >1}\), zaś \(\displaystyle{ \frac{b+1}{a} > 0}\).
Rozwiązanie to trójka \(\displaystyle{ \left( 2, \ 2, \ 2\right)}\).
Niech \(\displaystyle{ c > 2}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ a+b+c=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} < \frac{a+b}{2}+\frac{b+c}{2}+\frac{c+a}{2}=a+b+c}\)
Sprzeczność. Niech \(\displaystyle{ c=2}\).
\(\displaystyle{ \frac{b+2}{a}+\frac{a+2}{b}=\frac{a+b}{2}+2}\)
Niech \(\displaystyle{ b > 2}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{a+b}{2}+2=\frac{b+2}{a}+\frac{a+2}{b} < \frac{b+2}{2}+\frac{a+2}{2}=\frac{a+b}{2}+2}\)
Niech \(\displaystyle{ b=2}\). Wtedy i \(\displaystyle{ a=2}\). Niech \(\displaystyle{ c=1}\). Wtedy
\(\displaystyle{ \frac{b+1}{a}+\frac{a+1}{b}=1}\)
I sprzeczność, bo \(\displaystyle{ a \ge b \Rightarrow a+1 > b \Rightarrow \frac{a+1}{b} >1}\), zaś \(\displaystyle{ \frac{b+1}{a} > 0}\).
Rozwiązanie to trójka \(\displaystyle{ \left( 2, \ 2, \ 2\right)}\).