Matematyka.pl

Niech dla \(\displaystyle{ x,y \in R}\) oraz \(\displaystyle{ x^4+2y^3-x=-\frac{1}{4}+3\sqrt{3}, y^4+2x^3-y=-\frac{1}{4}-3\sqrt{3}}\). Pokaż że \(\displaystyle{ 2xy=x+y.}\)

Sumując obie równości mamy
\(\displaystyle{ \left( x^{4} + 2x^{3} - x + \frac{1}{4}\right) + \left( y^{4}+2y^{3} - y + \frac{1}{4} \right) = 0}\)
Rozpatrzmy funkcje w \(\displaystyle{ R}\) dla \(\displaystyle{ m \in R}\).
\(\displaystyle{ f\left( m\right) = m^{4} + 2m^{3} - m + \frac{1}{4} = \left( m^{2}+1\right)^{2} -m - \frac{3}{4} \ge m^{2} + 1 - m - \frac{3}{4} = m^{2} - m + \frac{1}{4} = \left( m- \frac{1}{2} \right)^{2} \ge 0}\),
stąd
\(\displaystyle{ \left( x^{4} + 2y^{3} - x + \frac{1}{2}\right) + \left( y^{4}+2y^{3} - y + \frac{1}{2} \right) \ge 0}\), czyli dana równość \(\displaystyle{ x=y= \frac{1}{2}}\),
natomiast \(\displaystyle{ 2xy \neq x + y}\), tym bardziej te wartości nie spełnia pierwszych równości.

Czyli udowodniłeś
\(\displaystyle{ 0 \Rightarrow 1}\)

Z rozważań, które przeprowadziłęś nie wynika, że \(\displaystyle{ x=y=1/2}\) (wczesniej jest nierówność, która powoduje, że końcowa nierównośc jest ostra. Zatem nie ma \(\displaystyle{ x,y}\) spełniających wyjściowe równania, co oznacza, że implikacja jest PRAWDZIWA.

Natomiast rachunki, któe przedstawiłeś są niestety błedne:
\(\displaystyle{ m^4+2m^3+1\neq (m^2+1)^2}\)

Wielomian \(\displaystyle{ f}\) ma dwa podwójne pierwiastki rzeczywiste.

natomiast \(\displaystyle{ 2xy \neq x + y}\), tym bardziej te wartości nie spełnia pierwszych równości.

,
tak napisałem, że te wartości nie spełniają poprzednich równań.
Aż trzy wiadomości dostałem, dziękuje za spostrzegawczość.
Tego błędu nie spostrzegłem !

Natomiast z tego co widze, sprowadza się do :
\(\displaystyle{ \left( x^{2} + x - \frac{1}{2} \right)^{2} + \left( y^{2} + y - \frac{1}{2} \right)^{2} = 0}\),
czy znowu się pomyliłem ?
To nam daje rozwiązanie dla dwóch róznych pierwiastków.

Zauważmy, że \(\displaystyle{ 2xy=x+y \Rightarrow 2= \frac{x}{y} + \frac{y}{x}}\)to z kolei implikuje, że \(\displaystyle{ x=y}\)i inne pary nie spełniają równania. To trzeba pokazać.

Z dokładnością do zer.

\(\displaystyle{ x^4+y^4+2(x^3+y^3)-(x+y)+ \frac{1}{2}=0}\)

Kartezjusz pisze:Zauważmy, że \(\displaystyle{ 2xy=x+y \Rightarrow 2= \frac{x}{y} + \frac{y}{x}}\)to z kolei implikuje, że \(\displaystyle{ x=y}\)i inne pary nie spełniają równania. To trzeba pokazać.

\(\displaystyle{ x = \frac{- \sqrt{3}-1 }{2} , y = \frac{ \sqrt{3}-1 }{2}}\)
Oczywiście powinno być
\(\displaystyle{ 2 = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}}\).
Rozwiązanie mam w poście wyżej.