Udowodnij, że dla kazdego n naturalnego zachodzi równość.
\(\displaystyle{ \large [\frac{n+1}{2}]+[\frac{n+2}{4}]+...+[\frac{n+2^{k-1}}{2^k}]+...=n}\)
[a] - cecha z a
[Równania] Udowodnij równość. X OM. Cecha.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
TomciO
- Użytkownik
- Posty: 289
- Rejestracja: 16 paź 2004, o 23:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Pomógł: 38 razy
[Równania] Udowodnij równość. X OM. Cecha.
Eee... czy w liczniku drugiego wyrazu nie powinno byc n+2?
[Równania] Udowodnij równość. X OM. Cecha.
niech
\(\displaystyle{ S(n)=[\frac{n+1}{2}]+[\frac{n+2}{4}]+....}\)
zalozmy \(\displaystyle{ 2^k>a}\)
udowodnijmy rownosc:
\(\displaystyle{ S(2^k+a)=2^k+S(a)}\)
dowod:
\(\displaystyle{ S(2^k+a)=[\frac{2^k+a+1}{2}]+[\frac{2^k+a+2}{4}]+....+[\frac{2^k+a+2^{k}}{2^{k+1}}]}\)
\(\displaystyle{ =2^{k-1}+2^{k-2}+...+2+1+S(a)+1=2^k+S(a)}\)
a majc to korzystajac z jednoznacznosci zapisu dwojkowego mamy:
S(n)=n c.n.u
\(\displaystyle{ S(n)=[\frac{n+1}{2}]+[\frac{n+2}{4}]+....}\)
zalozmy \(\displaystyle{ 2^k>a}\)
udowodnijmy rownosc:
\(\displaystyle{ S(2^k+a)=2^k+S(a)}\)
dowod:
\(\displaystyle{ S(2^k+a)=[\frac{2^k+a+1}{2}]+[\frac{2^k+a+2}{4}]+....+[\frac{2^k+a+2^{k}}{2^{k+1}}]}\)
\(\displaystyle{ =2^{k-1}+2^{k-2}+...+2+1+S(a)+1=2^k+S(a)}\)
a majc to korzystajac z jednoznacznosci zapisu dwojkowego mamy:
S(n)=n c.n.u