\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+y+z=0\\x^3+y^3+z^3=18\\x^7+y^7+z^7=2058 \end{array}\right.}\)
\(\displaystyle{ x , y,z \in \RR}\)
[Równania] Taki sobie układ
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 9628
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 2878 razy
- Pomógł: 710 razy
-
Piotr Rutkowski
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
[Równania] Taki sobie układ
Spora podpowiedź:
Skoro \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), to będą zachodziły następujące związki:
\(\displaystyle{ 294=\frac{x^{7}+y^{7}+z^{7}}{7}=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}\cdot \frac{x^{5}+y^{5}+z^{5}}{5}=(\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2})^{2}\cdot \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{3}=6(\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2})^{2}}\)
skąd mamy \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=14}\)
A mając do dyspozycji wielomiany symetryczne i układ 3 równań kolejnych stopni...
Skoro \(\displaystyle{ x+y+z=0}\), to będą zachodziły następujące związki:
\(\displaystyle{ 294=\frac{x^{7}+y^{7}+z^{7}}{7}=\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2}\cdot \frac{x^{5}+y^{5}+z^{5}}{5}=(\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2})^{2}\cdot \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{3}=6(\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{2})^{2}}\)
skąd mamy \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}+z^{2}=14}\)
A mając do dyspozycji wielomiany symetryczne i układ 3 równań kolejnych stopni...
-
a4karo
- Użytkownik
- Posty: 21382
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 31 razy
- Pomógł: 3608 razy
Re: [Równania] Taki sobie układ
A po szkolnemu można to zrobić tak:
Niech `x,y,z` będą pierwiastkami wielomianu `t^3+At+B=0` (współczynnik przy `t^2` jest zerem na mocy wzorów Viete'a).
Stosując ponownie wzory Viete'a dostajemy
`x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zy)=-2A`.
Ponadto
`x^7=x(x^3)^2=x(-Ax-B)^2=A^2x^3+2ABx^2+B^2x`
`y^7=y(y^3)^2=A^2y^3+2ABy^2+B^2y`
`z^7=z(z^3)^2=A^2z^3+2ABz^2+B^2z`
dodając te trzy równania otrzymujemy
(*) `2058=A^2(x^3+y^3+z^3)+2AB(x^2+y^2+z^2)+B^2(x+y+z)=18A^2-4A^2B`
Dodatkowo
(**) `18=x^3+y^3+z^3=-Ax-B-Ay-B-Az-B=-3B`
Stąd `B=-6, A=\pm 7`
Równanie `t^3-7t-6=0` ma trzy pierwiastki rzeczywiste -2,-1,3 i każda ich permutacja jest rozwiązaniem układu, natomiast funkcja `t^3+7t-6` jest ściśle rosnąca, więc nie ma trzech pierwiastków rzeczywistych.
Niech `x,y,z` będą pierwiastkami wielomianu `t^3+At+B=0` (współczynnik przy `t^2` jest zerem na mocy wzorów Viete'a).
Stosując ponownie wzory Viete'a dostajemy
`x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zy)=-2A`.
Ponadto
`x^7=x(x^3)^2=x(-Ax-B)^2=A^2x^3+2ABx^2+B^2x`
`y^7=y(y^3)^2=A^2y^3+2ABy^2+B^2y`
`z^7=z(z^3)^2=A^2z^3+2ABz^2+B^2z`
dodając te trzy równania otrzymujemy
(*) `2058=A^2(x^3+y^3+z^3)+2AB(x^2+y^2+z^2)+B^2(x+y+z)=18A^2-4A^2B`
Dodatkowo
(**) `18=x^3+y^3+z^3=-Ax-B-Ay-B-Az-B=-3B`
Stąd `B=-6, A=\pm 7`
Równanie `t^3-7t-6=0` ma trzy pierwiastki rzeczywiste -2,-1,3 i każda ich permutacja jest rozwiązaniem układu, natomiast funkcja `t^3+7t-6` jest ściśle rosnąca, więc nie ma trzech pierwiastków rzeczywistych.