[Planimetria] W czworokącie wpukłym ABCD przekątne AC i BD

Agatka10000 · Post autor: **Agatka10000** » 17 lis 2007, o 21:36

W czworokącie wpukłym ABCD przekątne AC i BD są równej długości. Punkty M i N są odpowiednio środkami boków AD i BC. Wykazać, że prosta MN tworzy równe kąty z przekątnymi ACi BD.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 25 paź 2008, o 14:57

Załozenia AC=BD, M środek AD, N środek BC

\(\displaystyle{ \vec MN \circ \vec AC =MN \ AC \ cos(a)}\)
\(\displaystyle{ \vec MN \circ \vec DB =MN \ DB \ cos(b)}\)

Wystarczy pokazac, ze \(\displaystyle{ \vec MN \circ ( \vec AC + \vec BD)=0}\)

ps Poki co Nie wiem jak...

rys.

Sylwek · Post autor: **Sylwek** » 24 lis 2008, o 20:50

Zaprezentuje rozwiązanie korzystające z geometrii analitycznej , umieśćmy ten czworokąt tak, aby:

\(\displaystyle{ A(0,0) \\ B(1,0) \\ C(x_C,y_C) \\ D(x_D,y_D)}\)

Równość |AC|=|BD| można przedstawić jako: \(\displaystyle{ (x_D-1)^2+y_D^2 = x_C^2 + y_C^2}\)

Zauważmy, że (ostatnia równość z założenia |AC|=|BD|):
\(\displaystyle{ \vec{MN} \circ \vec{AC} - \vec{MN} \circ \vec{DB}= \\ =(x_N-x_M)(x_C-0)+(y_N-y_M)(y_C-0) - \\ - (x_N-x_M)(x_D-1) - (y_N-y_M)(y_D-0) = \\ = \frac{1}{2}(1+x_C-x_D)x_C + \frac{1}{2}(y_C-y_D)y_C - \\ - \frac{1}{2}(1+x_C-x_D)(x_D-1) - \frac{1}{2}(y_C-y_D)y_D = (upraszczanie) = \\ =x_C^2+y_C^2 - (x_D-1)^2-y_D^2 = 0}\)

Zatem:
\(\displaystyle{ \vec{MN} \circ \vec{AC} = \vec{MN} \circ \vec{DB} \\ |MN| |AC| \cos \angle(\vec{MN},\vec{AC}) = |MN| |DB| \cos \angle(\vec{MN},\vec{DB}) \\ |AC| \cos \angle(\vec{MN},\vec{AC}) = |DB| \cos \angle(\vec{MN},\vec{DB}) |AC|=|DB| \\ \cos \angle(\vec{MN},\vec{AC}) = \cos \angle(\vec{MN},\vec{DB}) \angle(\vec{MN},\vec{AC}) = \angle(\vec{MN},\vec{DB})}\)
co należało dowieść

limes123 · Post autor: **limes123** » 13 sie 2009, o 19:49

Mozna tez syntetycznie. (U mnie M jest srodkiem AB a N srodkiem BC).
Uzupelniamy X i Y sa takie, ze ADBX i DACY sa rownoleglobokami. Wtedy BXCY tez jest rownoleglobokiem. Mamy \(\displaystyle{ \angle(AC,MN)=\angle(AC,BY)=\angle (AC,XC)=\angle (CX,AX)=\angle (YB,DB)=\angle (MN,DB)}\). Uzywam tego, ze \(\displaystyle{ DY=AC=BD=AX}\) oraz MN||BY||CX.