Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ a,b}\) będą przekątnymi czworokąta wypukłego. Pokaż ze jeden z boków tego czworokąta nie jest większy niż \(\displaystyle{ \frac{ \sqrt{a^2+b^2} }{2}}\).

Niech \(\displaystyle{ x, y, z, t}\) będą długościami boków tego czworokąta. Zauważmy, że co najmniej jeden kąt tego czworokąta musi mieć miarę nie mniejszą niż \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\). W przeciwnym razie, gdyby wszystkie kąty miały miarę mniejszą niż \(\displaystyle{ 90^{\circ}}\), to suma miar kątów w tym czworokącie byłaby mniejsza niż \(\displaystyle{ 360^{\circ}}\), co jest oczywistą nieprawdą. Niech \(\displaystyle{ \gamma}\) będzie kątem leżącym między bokami długości \(\displaystyle{ x, y}\). Bez straty ogólności załóżmy, że \(\displaystyle{ \gamma\geq90^{\circ}}\). Możemy również założyć bez straty ogólności, że przekątna łącząca końce odcinków długości \(\displaystyle{ x, y}\) ma długość równą \(\displaystyle{ a}\) (gdyby była równa \(\displaystyle{ b}\), to rozumowanie jest analogiczne). Teraz załóżmy nie wprost, że wszystkie boki danego czworokąta mają długości większe od \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\). Wtedy z twierdzenia cosinusów dla trójkąta o bokach \(\displaystyle{ x, y, a}\) otrzymamy \(\displaystyle{ a^2=x^2+y^2-2xy\cos\gamma \geq x^2+y^2>\frac{a^2+b^2}{2}+\frac{a^2+b^2}{2}=a^2+b^2}\), skąd natychmiast otrzymujemy \(\displaystyle{ b^2<0}\). Sprzeczność. Stąd wynika, że co najmniej jeden z boków musi mieć długość nie większą niż \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\).



EDIT: Sorry, powyższe w zasadzie nadaje się do wyrzucenia do kosza, bo okazało się że nie umiem liczyć i z rozpędu napisałem, że \(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{2}}\), o czym ktoś mnie poinformował. Z tego co napisałem wyżej wynika tylko, że \(\displaystyle{ a^2 > b^2}\).

wskazówka: 296996.htm#p4925465

W linku jest wykazana równość, ale jeszcze pozostaje ostra nierówność.