Witam mam problem z rozwiązaniem tego zadania:
Oblicz sumę \(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+ \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+...+ \frac{1}{98 \cdot 99 \cdot 100} }\)
Doszedłem do tego, że ta suma jest równa \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{98}\frac{1}{2(n+2)}+\frac{1}{2n}-\frac{1}{n+1} }\), ale nie wiem jak obliczyć tę sumę.
Oblicz sumę
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10235
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2365 razy
Re: Oblicz sumę
Inny sposób:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{ (n+2) - n }{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)}\)
i po zsumowaniu od \(\displaystyle{ n=1}\) do \(\displaystyle{ 98}\) też większość się skróci.
\(\displaystyle{ \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \cdot \frac{ (n+2) - n }{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n(n+1)} - \frac{1}{(n+1)(n+2)} \right)}\)
i po zsumowaniu od \(\displaystyle{ n=1}\) do \(\displaystyle{ 98}\) też większość się skróci.
-
- Użytkownik
- Posty: 22238
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3760 razy
Re: Oblicz sumę
Można też skorzystać z tożsamości
\begin{align*}\frac12&=\frac13+\frac13\cdot\frac12\\
&=\frac13+\frac13\left(\frac14+\frac24\cdot\frac12\right)\\
&=\frac2{1\cdot2\cdot3}+\frac2{2\cdot3\cdot4}+\frac{2}{3\cdot 4}\left(\frac15+\frac35\cdot\frac12\right)\\
&=\frac2{1\cdot2\cdot3}+\frac2{2\cdot3\cdot4}+\frac{2}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac2{4\cdot5}\left(\frac16+\frac46\cdot\frac12\right)\\
&=\frac2{1\cdot2\cdot3}+\frac2{2\cdot3\cdot4}+\frac{2}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac2{4\cdot5\cdot6}+\frac2{5\cdot6}\cdot\frac12\\
&=...\\
&=\frac2{1\cdot2\cdot3}+\dots+\frac{2}{98\cdot99\cdot100}+\frac2{99\cdot100}\cdot\frac12
\end{align*}
To pozwala wyliczyć skończone sumy oraz sumę szeregu.
Tożsamość
\(\displaystyle{ \frac1{1\cdot2\cdot...\cdot b}+\frac{1}{2\cdot3\cdot...\cdot(b+1)}+\frac{1}{3\cdot4\cdot...\cdot(b+2)}+\dots}\)
lub
\(\displaystyle{ \frac{1}{1\cdot3\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot5\cdot7}+\dots.}\) (tutaj trzeba "skakać" z `n` co dwa).
Oraz wiele innych. Miłej zabawy.
\(\displaystyle{ \frac12=\frac1{n+2}+\frac{n}{n+2}\cdot\frac12}\)
kolejno dla `n=1,2,...`:\begin{align*}\frac12&=\frac13+\frac13\cdot\frac12\\
&=\frac13+\frac13\left(\frac14+\frac24\cdot\frac12\right)\\
&=\frac2{1\cdot2\cdot3}+\frac2{2\cdot3\cdot4}+\frac{2}{3\cdot 4}\left(\frac15+\frac35\cdot\frac12\right)\\
&=\frac2{1\cdot2\cdot3}+\frac2{2\cdot3\cdot4}+\frac{2}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac2{4\cdot5}\left(\frac16+\frac46\cdot\frac12\right)\\
&=\frac2{1\cdot2\cdot3}+\frac2{2\cdot3\cdot4}+\frac{2}{3\cdot 4\cdot 5}+\frac2{4\cdot5\cdot6}+\frac2{5\cdot6}\cdot\frac12\\
&=...\\
&=\frac2{1\cdot2\cdot3}+\dots+\frac{2}{98\cdot99\cdot100}+\frac2{99\cdot100}\cdot\frac12
\end{align*}
To pozwala wyliczyć skończone sumy oraz sumę szeregu.
Tożsamość
\(\displaystyle{ \frac{1}{b-1}=\frac{1}{n+b-1}+\frac{n}{n+b-1}\cdot\frac{1}{b-1}}\)
pozwala w taki sam sposób liczyć sumy\(\displaystyle{ \frac1{1\cdot2\cdot...\cdot b}+\frac{1}{2\cdot3\cdot...\cdot(b+1)}+\frac{1}{3\cdot4\cdot...\cdot(b+2)}+\dots}\)
lub
\(\displaystyle{ \frac{1}{1\cdot3\cdot 5}+\frac{1}{3\cdot5\cdot7}+\dots.}\) (tutaj trzeba "skakać" z `n` co dwa).
Oraz wiele innych. Miłej zabawy.
-
- Użytkownik
- Posty: 927
- Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 75 razy
- Pomógł: 274 razy
Re: Oblicz sumę
Inaczej - wskazówka.
Bardzo sympatyczne zadanko. Zadanie to, to zabawa ze szczególnym przypadkiem liczb piramidalnych - liczbami czworościennymi.
Bardzo sympatyczne zadanko. Zadanie to, to zabawa ze szczególnym przypadkiem liczb piramidalnych - liczbami czworościennymi.