[Nierówności] Trzy zmienne i logarytmy

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

[Nierówności] Trzy zmienne i logarytmy

Post autor: bosa_Nike »

Dla rzeczywistych \(a,b,c\in (1,6)\), takich że \(a+b+c=6\), udowodnij \[\frac{\ln a}{b+c}+\frac{\ln b}{c+a}+\frac{\ln c}{a+b}\ge\frac{3}{4}\ln 2.\]
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [Nierówności] Trzy zmienne i logarytmy

Post autor: Premislav »

Niestety będzie bolało.
Ukryta treść:    
bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1660
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 445 razy

Re: [Nierówności] Trzy zmienne i logarytmy

Post autor: bosa_Nike »

Raczej nie tak, jak przeczytanie oficjalnego rozwiązania (s. 209):

Kod: Zaznacz cały

http://amj-math.com/wp-content/uploads/2023/01/AMJ2022-vol9iss2.pdf
Zadanie wzięłam z aops, a pod koniec listopada natknęłam się na nie we wcześniejszym numerze zalinkowanego periodyku, co zmartwiło mnie podwójnie, bo po pierwsze, zawsze to jakiś trwający konkurs, a po drugie, bo zadanie zaklasyfikowane jako elementary, podczas gdy mnie jeden dowód, napakowany analizą, zajął prawie cztery strony, drugi zaś - prawie dwie, choć większość to flaki - efekt usilnego wyręczania wolframa w obliczeniach, co potrwało ze dwa seanse Bonda. Patrząc na poszczególne kategorie zadań w tym wydawnictwie podejrzewam, że autor zadania pomylił sie w swoim rozwiązaniu, a redaktor działu za późno to wychwycił, no i problem wylądował w elementary.
Ukryta treść:    
Mogę za to śmiało i diametralnie zmienić opinię o tym zadaniu, więcej niż jedno ładne(!) rozwiązanie istnieje, tylko żadne z tych ładnych nie jest moje.
ODPOWIEDZ