[Nierówności] Niebanalna nierówność
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11620
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3173 razy
- Pomógł: 754 razy
[Nierówności] Niebanalna nierówność
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[n]{m+1}} + \frac{1}{\sqrt[m]{n+1}} \geq 1}\)
Ostatnio zmieniony 16 wrz 2006, o 08:41 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 1 raz.
- arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5762
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 132 razy
- Pomógł: 528 razy
[Nierówności] Niebanalna nierówność
W sumie banalna:
wystarfczy założyć nie wprost że każdy z tych składników
jest mniejszy od 1/2 , potem podnieść odpowiednio każdą z tych nierówności do potęg odpowiednio m i n,i dodać stronami obie nierówności
od razu łatwo zauważyć sprzeczność
wystarfczy założyć nie wprost że każdy z tych składników
jest mniejszy od 1/2 , potem podnieść odpowiednio każdą z tych nierówności do potęg odpowiednio m i n,i dodać stronami obie nierówności
od razu łatwo zauważyć sprzeczność
- Rzeszut
- Użytkownik
- Posty: 68
- Rejestracja: 20 lip 2006, o 16:39
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Pomógł: 3 razy
[Nierówności] Niebanalna nierówność
Udowodniłeś w ten sposób tylko tyle, że co najmniej jeden ze składników jest większy lub równy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\), a to jeszcze nie wystarczy.arek1357 pisze:W sumie banalna:
wystarfczy założyć nie wprost że każdy z tych składników
jest mniejszy od 1/2 , potem podnieść odpowiednio każdą z tych nierówności do potęg odpowiednio m i n,i dodać stronami obie nierówności
od razu łatwo zauważyć sprzeczność
- yorgin
- Użytkownik
- Posty: 12762
- Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 17 razy
- Pomógł: 3440 razy
[Nierówności] Niebanalna nierówność
Korzystając z nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną mamy:
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{m+1}=\sqrt[n]{(m+1)\underbrace{1*1*...*1}} \leq \frac{m+1+n-1}{n}=\frac{m+n}{n} \\
\mbox{w klamerce jest n-1 czynnikow}\\
\sqrt[n]{m+1} \leq \frac{m+n}{n}\\
\frac{1}{\sqrt[n]{m+1}} \geq \frac{n}{n+m}\quad (1)\\
}\)
analogicznie dla drugiego pierwiastka:
\(\displaystyle{ \sqrt[m]{n+1}=\sqrt[m]{(n+1)\underbrace{1*1*...*1}} \leq \frac{n+1+m-1}{n}=\frac{n+m}{m} \\
\mbox{w klamerce jest m-1 czynnikow}\\
\sqrt[m]{n+1} \leq \frac{n+m}{m}\\
\frac{1}{\sqrt[m]{n+1}} \geq \frac{m}{m+n}\quad (2)}\)
Z (1) i (2) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[m]{n+1}}+\frac{1}{\sqrt[n]{m+1}}\geq \frac{n}{n+m}+\frac{m}{m+n}=\frac{m+n}{m+n}=1\\
\frac{1}{\sqrt[m]{n+1}}+\frac{1}{\sqrt[n]{m+1}}\geq 1\\ c.n.d.}\)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{m+1}=\sqrt[n]{(m+1)\underbrace{1*1*...*1}} \leq \frac{m+1+n-1}{n}=\frac{m+n}{n} \\
\mbox{w klamerce jest n-1 czynnikow}\\
\sqrt[n]{m+1} \leq \frac{m+n}{n}\\
\frac{1}{\sqrt[n]{m+1}} \geq \frac{n}{n+m}\quad (1)\\
}\)
analogicznie dla drugiego pierwiastka:
\(\displaystyle{ \sqrt[m]{n+1}=\sqrt[m]{(n+1)\underbrace{1*1*...*1}} \leq \frac{n+1+m-1}{n}=\frac{n+m}{m} \\
\mbox{w klamerce jest m-1 czynnikow}\\
\sqrt[m]{n+1} \leq \frac{n+m}{m}\\
\frac{1}{\sqrt[m]{n+1}} \geq \frac{m}{m+n}\quad (2)}\)
Z (1) i (2) mamy:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt[m]{n+1}}+\frac{1}{\sqrt[n]{m+1}}\geq \frac{n}{n+m}+\frac{m}{m+n}=\frac{m+n}{m+n}=1\\
\frac{1}{\sqrt[m]{n+1}}+\frac{1}{\sqrt[n]{m+1}}\geq 1\\ c.n.d.}\)