[Nierówności] Krótkie nierówności.

dusiek1609 · Post autor: **dusiek1609** » 8 mar 2013, o 16:33

Udowodnij, że nierówność, jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c > 0}\)

a) \(\displaystyle{ \frac{1}{a+b} + \frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c} > \frac{3}{a+b+c}}\)

b) \(\displaystyle{ \left( a^{3} + b^{3} + c^{3} \right) \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) > \left( a+b+ c \right)^{2}}\)

c) \(\displaystyle{ \frac{ x^{2} + y^{2} + z^{2} }{ \left( x-y \right) ^{2} + \left( y-z \right) ^{2} + \left( z-x \right) ^{2} } > \frac{1}{3}}\)

Naniosłem pewne poprawki, bo np. podpunkt c) nie był pierwotnie nierównością. Ponewor

Post autor: **Ponewor** » 8 mar 2013, o 17:29

a):

c):

m-2 · Post autor: **m-2** » 8 mar 2013, o 17:44

a):

dusiek1609 · Post autor: **dusiek1609** » 8 mar 2013, o 18:05

A co to jest ten Jensen? o co w tym chodzi?

Post autor: **Ponewor** » 8 mar 2013, o 18:11

m-2 pisze:ale myślę, że Jensen lepszy

mniemam, że to tylko żarcik, bo Jensen jest tu zdecydowanie gorszy. A to zadanie i moje rozwiązanie to wybitny dowód na to jak bardzo Jensen i jemu podobni wyłączają myślenie.

b) w podobnym guście:

odnośnie Jensena:
https://www.matematyka.pl/28103.htm#p121309
https://www.matematyka.pl/196070.htm

Panda · Post autor: **Panda** » 8 mar 2013, o 18:43

b):