Matematyka.pl

Kumpel ktory chodzi na seminaria z matmy ostatnio wspomnial mi cos o jakims Jensenie i Holderze i ze ich metodami mozna latwiej rozwiazywac nierownosci i uklady rownan... dotychczas bawilem sie tylko ze srednimi czasem no ale zbyt zaawansowany to ja nie jestem, gdzies slyszalem jeszcze o metodzie uwektorzania... Co to za metody i jak z nich korzystac? Jesli ktos mialby czas i checi to bylbym wdzieczny jakby to opisal, dal jakies przyklady, podal jakies tytuly ksiazek gdzie tego szukac... z gory dziex za pomoc

pozdro...

"W krainie nierówności"- czy jakos tak

a Holder i Jensen to byli matematycy - ludzie.
z ludźi się nie kożysta najwyrzej można czasem współpracować

jensen's inequality
ho(:)lder's inequality

Pierwsza i podstawowa sprawa jak chcesz POZNAĆ dobrze nierówność Jensena to rachunek różniczkowy... Ale jeżeli już dowiesz się dokładnie czym się funkcje wypukłe i wklęsłe, to wówczas dowiesz się, że: /a czy dla wypukłych czy wklęsłych to już sam sprawdzisz /

Jeżeli funkcja f(x) jest ............. /tu sam się dowiesz jaka/, to dla n argumentów nieujemnych, w których jest określona, zachodzi:

1/n*(Suma(f(x_i))>=f( (Suma(x_i))/n)

Nierówność ta BARDZO się przydaje we wszekich nierównościach trygonometrycnzych no i przy "wypukłej powłoce".

Pozdrawiam

to jest szczegolna postac nierownosci Jensena. zamiast 1/n mozna przy x_i czy tam f(x_i) postawic p_i, przy czym p_1 + ... + p_n = 1 poza tym nie trzeba koniecznie umiec rozniczkowac. wkleslosc/wypuklosc widac w glowie.
jest temat ciekawy o miedzy innymi tych dwoch nierownosciach na orgu (dosyc nietypowa nierownosc czy jakos tak).

przydaje sie tez wersja z wagami:
jezeli funkcja jest wypukla na przedziale Xtakie tam sruty to dla liczb x_i nalezych do X i!!! liczb dodatnich p_i takich, ze p_1 + p_2 +...+p_n =1 mamy
p_1*f(x_1)+p_2*f(x_2)+...+p_n*f(x_n) >=
>= f(p_1*x_1+p_2*x_2+...+p_n*x_n)

warto jeszcze dodac ze holdera mozna udowodnic za pomoca jensena

Pierwsza i podstawowa sprawa jak chcesz POZNAĆ dobrze nierówność Jensena to rachunek różniczkowy... - nie koniecznie
zamiast warunku z drugą pochodną można wprowadzić w war. prawdziwość dla n=2

ale lepiej jest oczywiśce stosować "wersji" z pochodną

Wiem, że podałem jedynie szczególnie postać... Ale nie zgodzę się, że różniczkowalność nie jest potrzebna. Wielu funkcji "nie widać", np jakieś
(x^2+1)/ sin(x), dla xe(0,pi). Oczywiście postać ogólna istnieje, a w ogóle jak ktoś chce poczytać o MAGICZNIE TRUDNYCH nierównościach, związanych z Jensenem i zna angielski, niech sobie Mitrinovicia poczyta, a jak ktoś go nie znajdzie na PW niech pisze, to powiem co i jak.... (nie, nie - to nie o link chodzi )

nie no zgadza sie, ale ... (jakieś ale)
chodziło mi o to że teoretycznie możesz wszystko zrobić bez pochodnej tylko z zał. dla n=2, a że w praktyce jest duuuuużo trudniej na to wpaść to już inna inszość