Matematyka.pl

Znajdź wszystkie wartości rzeczywistej stałej \(k\), dla których nierówność \[\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{k(2k+1)}{(x+y)^2}\ge 3(2k-1)\sqrt[3]{\frac{2k+1}{16x^2y^2(x+y)^2}}\] spełniają wszystkie liczby rzeczywiste \(x,y\), takie że \(xy(x+y)\neq 0\).

\(k=-\frac 12\) działa, od teraz \(k\neq -\frac 12\)

przez skalowanie można ograniczyć się do przypadku gdy \(x+y=1\)

lewa strona to \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+k(2k+1) = \frac{x^2+y^2}{x^2y^2}+k(2k+1)=\frac{1-2xy}{(xy)^2}+k(2k+1)\), a prawa \(3(2k-1)\sqrt[3]{\frac{2k+1}{16(xy)^2}}\)

podstawmy nową zmienną \(t=\sqrt[3]{\frac{1}{4(2k+1)xy}}\), wtedy nierówność przepisuje się tak: \(16(2k+1)^2t^6-8(2k+1)t^3+k(2k+1)\ge 3(2k-1)(2k+1)t^2\)

\(2k+1\) się kanceluje, ale trzeba pamiętać, żeby zmienić zwrot nierówności gdy \(2k+1<0\), będziemy dalej robić tylko dla \(2k+1>0\)

po przekształceniach wychodzi \((2k+1)(2t^2+1)(4t^2-1)^2\ge 4t^2(4t-3)\), jeszcze powiedzmy sobie jaki jest zakres parametru \(t\): z tego, że \(0\neq xy\le \frac 14\) i \(2k+1>0\) wychodzi \(t<0\) lub \(t\ge \frac{1}{\sqrt[3]{2k+1}}\)

dla \(t<0\) nie dowiadujemy się niczego ciekawego

pozostaje znaleźć \(k\) takie, że \(2k+1\ge\frac{4t^2(4t-3)}{(2t^2+1)(4t^2-1)^2}=: f(t)\) dla dowolnego \(t\ge \frac{1}{\sqrt[3]{2k+1}}\)

\(f(t)\le 0\) dla \(t\le \frac 34\), \(f\) jest rosnąca na \((\frac 34,t_0)\) i malejąca na \((t_0,\infty)\), gdzie \(t_0\approx 0.945552\) jest pierwiastkiem wielomianu \(16t^5-16t^4+4t^3-4t^2+2t-1\)

jeśli \(k\) jest tak duże, że \(\frac{1}{\sqrt[3]{2k+1}}\le t_0\) to \(2k+1 \ge \frac{1}{t_0^3} \ge f(t_0) \ge f(t)\) dla dowolnego \(t\ge \frac{1}{\sqrt[3]{2k+1}}\)

w przeciwnym razie należy zbadać dla jakich \(k\) mamy \(2k+1 \ge f(\frac{1}{\sqrt[3]{2k+1}})\) i już mi się nie chce tego wklepywać do wolframa

Timonku, a jaka jest odpowiedź?

odpowiedź to

Timonek pisze:już mi się nie chce tego wklepywać do wolframa