Matematyka.pl

Ale skoro chcecie proszę bardzo, coś na rozgrzewke co już zrobiłem bo nad tymi co nie zrobiłem chce sie jeszcze pomęczyć.

I.
Niech a,b,c"e"R+ i a+b+c=1

Udowodnić
a^2+b^2+c^2+sqrt(12*a*b*c)=<1

II.
Udowodnić ze dla n"e"N zachodzi

Suma(1/i^2)<2

Dla osób nie znających sumy:
1/1^2+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2<2

Zarowno to i to zrobiłem sam

Pierwsze zajęło mi ponad strone A4 bo użyłem twierdzenia Muircheada (Przepraszam za błędy w nazwisku)
A drugie troche mniej bo skorzystałem z dowodu który robiłem rok temu w LO na kółku .

Powodzenia:)

a moze po prostu dasz linka do tej strony??

Anonymous pisze:a moze po prostu dasz linka do tej strony??

Po pierwsze proszę sie zarejestrować ^^ ponieważ nie wiem z kim rozmawiam


Pozatym nie moge dać linka ponieważ wszystkie dowody mam na kartce i nie mam pojęcia z jakiej stony one są wzięte, daje zadania z Ligi matematycznej, konkursów szkolnych, kółka matematycznego, niektórych książek i troche zadań ze Staszica.

Zresztą można poweidzieć ze te zadania są rozpisane po wielu zeszytach z biologi, chemii itp

akurat wszystkie zadania jakie dales sa z ligi matematycznej Witkowskiego

być może, nie mam tego zapisanego dokładnie skąd to mam ale nie wszystkie jakie dam bedą z LM. Zresztą prosze podać link jak możesz.

w 1szym opuscimy sobie warunek ze a+b+c = 1 ale za to zamienimy sobie niektore jedynki w nierownosci na a+b+c wlasnie. i tak mamy:
a^2 + b^2 + c^2 + 2sqrt(3abc(a+b+c)) =< (a+b+c)^2
upraszczjac dostajemy
sqrt(3abc(a+b+c)) =< ab + bc + ca
3 a^2 bc + 3 a b^2 c + 3 ab c^2 =< (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 + 2 a b^2 c + 2 a^2 bc + 2 ab c^2
a^2 bc + a b^2 c + ab c^2 =< (ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2
0 =< a^2 b(b-c) + b^2 c(c-a) + a c^2 (a-b) // :abc
0 =< a(b-c)/c + b(c-a)/a + c(a-b)/b
poniewaz nierownosc jest symetryczna, mozemy bez straty ogolnosci zalozyc ze a>=b>=c
na mocy tego zalozenia jedynie drugi skladnik sumy moze byc ujemny (c-a bedzie mialo znak minus)
ale my udowodnimy sobie ze suma dwoch pierwszych skladnikow jest =< 0.
0 =< a(b-c)/c + b(c-a)/a
b(a-c)/a =< a(b-c)/c (*)
na mocy zalozenia mamy na pewno b/a =< 1 =< a/c
oraz a-c >= b-c
po wymnozeniu stronami powyzszych dostajemy (*) cnd.

a w drugim mozna oganiczyc 1/i^2 od gory przez 2^(-i+1) ktorego suma jest w granicy rowna dwa, a zatem dla skonczonych n jest od 2 mniejsza. mozna tez bezposrednio skorzystac z faktu ze w granicy suma odwrotnosci kwadratow jest rowna pi^2/6 a to jest mniejsze od 2.