Matematyka.pl

1. [alchemik]
Trapez. W trapezie \(\displaystyle{ ABCD}\) przez punkt \(\displaystyle{ S}\) przecięcia przekątnych poprowadzono prostą równoległa do podstaw \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ CD}\) , która przecina boki \(\displaystyle{ AD}\) i \(\displaystyle{ BC}\) w punktach \(\displaystyle{ M}\) i \(\displaystyle{ N}\). Dowieść, że jeśli kąty \(\displaystyle{ ADC}\) i \(\displaystyle{ ACB}\) są równe, to \(\displaystyle{ MN}\) jest średnią harmoniczną podstaw, zaś \(\displaystyle{ AC}\) jest średnia geometryczną tych podstaw

2. [Zordon - pierwsza część]
Niemożliwy rozkład Wykaż, że żadna liczba całkowita większa od 1, która jest sumą dwóch kwadratów kolejnych liczb naturalnych, nie może być sumą dwóch czwartych potęg kolejnych liczb naturalnych.
A czy mogłaby być sumą dwóch sześcianów kolejnych liczb naturalnych ?

3. Reszta. Wyznacz resztę z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 2^{49!}}\) przez \(\displaystyle{ 107*109}\)
Jakimi dwoma cyframi kończy się ta liczba ?

4. [scyth]
Cztery punkty. Znaleźć cztery punkty na płaszczyżnie, nie leżace na brzegu jednego trójkąta, ani na brzegu jednego kwadratu

5. [silicium2002]
Pięciobok*. Dowieść, że w każdym pięcioboku istnieje co najmniej jeden bok, który nie jest równoległy do żadnego z dwóch boków z nim nie sąsiadujących
* Pięciobok- inna nazwa pięciokąta

6. [mcbob, frej]
Minimum. Wyznacz minimum jakie osiąga wyrazenie \(\displaystyle{ x+5y}\) pod warunkiem ,ze
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2-6xy+y^2+21 \leq 0\\x \geq 0\\ y\geq 0 \end{cases}}\)

7. Przeciecia prostych. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną większą od \(\displaystyle{ 2}\). Wybierając na płaszczyźnie dowolnych \(\displaystyle{ n}\) punktów, przeprowadźmy przez każde dwa spośród nich prostą i oznaczmy przez \(\displaystyle{ q_1, ...q_m}\) punkty przecięcia wszystkich tych prostych. Niech \(\displaystyle{ p(n)}\) będzie największą liczbą otrzymanych w ten sposób punktów \(\displaystyle{ q_1, ...q_m}\). Mamy oczywiście:
\(\displaystyle{ n \leq p(n) \leq {{n \choose 2} \choose 2}}\)
dla \(\displaystyle{ n=3, 4,5,...}\)
Znależć dokłądny wzór na funkcję \(\displaystyle{ p(n)}\)

8. [silicium2002]
Sześćdziesiąt sześć. Gra polega na tym, że pierwszy z grających wybiera liczbę naturalna nie większą niż 6, drugi - liczbę naturalną większą od liczby partnera nie więcej niż o 6, pierwszy - znów liczbę naturalną większą od wybranej przez partnera nie więcej niż o 6 ,itd. Wygrywa ten, kto pierwszy dojdzie w ten sposób do liczby 66.
Wykazać, że gracz zaczynający posiada strategię zwycięską, tzn. że istnieje dla niego taka możliwość wyboru liczb przy której zawsze dojdzie pierwszy do liczby 66.

9. [Zordon]
Minimum. Znajdź najmniejszą wartość wyrażenia
\(\displaystyle{ w=\sum_{i=1}^n \sqrt{a_i^2 + (2i-1)^2}}\)
dla liczb \(\displaystyle{ a_j >0}\) i takich, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n a_i =n^2}\)

10. [mol_ksiazkowy]
Zbiór odcinków. Zbiór \(\displaystyle{ A}\) zawarty jest w odcinku o [0,1] i składa się z pewnej skończonej liczby parami rozłacznych odcinków \(\displaystyle{ A_j}\). Wiadomo też, iż odległość dwóch dowolnych punktów zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest różna od \(\displaystyle{ 0,1}\). Wykazać, że miara zbioru \(\displaystyle{ A}\) nie przekracza \(\displaystyle{ 0,5}\)

11. Własność czworościanu Dowieść, że jeśli rzutem jednego z wierzchołków czworościanu na przeciwległą ścianę jest punkt przecięcia wysokości tej ściany, tj ortocentr trójkata, to wtedy pozostałe wierzchołki czworościanu mają też tę własność.
(m. w sz.)

12. [alchemik]
Redukcja wyrazenia Doprowadź do możliwie najprostszej postaci wyrazenie
\(\displaystyle{ a^2(b+c)^2 + b^2(a+c)^2 + c^2(b+a)^2+ (a^2+b^2+c^2)(ab+bc+ca)}\)
wiedżac że \(\displaystyle{ a+b+c=0}\)
(m. w sz.)

13 taka _jedna
. Funkcja iloczyn. Niech \(\displaystyle{ \delta(n)}\) oznacza iloczyn wszystkich dzielników liczby naturalnej, zaś \(\displaystyle{ d(n)}\) ilosc dzielników \(\displaystyle{ n}\) Wykaż, że \(\displaystyle{ \delta(n)= n^{\frac{d(n)}{2}}}\). Wykaż też, iż dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego istnieje co najwyżej jedno \(\displaystyle{ k}\) takie, że \(\displaystyle{ \delta(k)=n}\)

14. [klaustrofob]
Dwa równania. Wykaż, ze równanie \(\displaystyle{ x^{10}-x^7 +x^2-x+1=0}\) nie posiada rozwiazań, a dalej rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{2-x}+\sqrt{x-1}-1=0}\)
(m w sz.)

15. [Artist]
Liczba jedynkowa. Udowodnij, że jeśli liczba \(\displaystyle{ 1111....1111}\) (\(\displaystyle{ n}\) jedynek ) jest pierwsza, to liczba \(\displaystyle{ n}\) też jest pierwsza.

16. Dasio11
Spalony dywan. Dywan o wymiarach 9 m na 12 m uległ spaleniu, w taki sposób, że zniszczyły się jego rogi (będące trójkątami prostokątnymi o przyprostokątnych 2m i 4m)- lewy góry i prawy dolny. W efekcie z dywanu zrobił się szcześciokąt o kolejnych bokach: \(\displaystyle{ 10, 5, \sqrt{20}, 10, 5, \sqrt{20}}\). Należy przy pomocy tylko jednego cięcia po linii ciągłej podzielić tę figurę na dwie częsci tak, aby mozna z nich było złożyć kwadrat. Należy przy tym wziąść pod uwagę, że dywan ma włos i deseń tylko po jednej stronie, zatem żadnych z tych dwóch części nie można odwracać.

17. Toczenie czworościanu. Czworościan foremny, którego każda ściana ma inną barwę toczymy po płaszczyżnie obracając go za każdym razem dookoła krawędzi. Na płaszczyźnie powstają odbitki koloru ścian, które je wytworzyły.
Czy można pokryć odbitkami całą płaszczyznę? Czy może się zdarzyć że otrzymamy jedną obok drugiej odbitki jednakowego koloru?

18. [Zordon, mol_ksiazkowy, Dumel]
Suma elementów. Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie zbiorem \(\displaystyle{ n}\) elementowym. Udowodnić, że suma liczb elementów zbiorów \(\displaystyle{ A \cap B}\) rozciągnięta na wszystkie uporządkowane pary \(\displaystyle{ (A,B)}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) wynosi \(\displaystyle{ n*4^{n-1}}\)

19. [Artist]
Podzielność i niepodzielnośc przez \(\displaystyle{ 169}\). Dowiesc, ze przy dowolnym \(\displaystyle{ n}\) całkowitym nieujemnym liczba \(\displaystyle{ 3^{3n}-26n-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 169}\). Dowiesc też, że przy dowolnym nieujemnym \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ n^2+5n+16}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 169}\) (m.w.sz)

20. [alchemik]
Dwie cyfry. Znaleźć dwie ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ 7^{9^{9^{9}}}}\) oraz dowieść, ze dla n>1 ostatnią cyfrą liczby
\(\displaystyle{ 2^{2^{n}}+1}\) jest \(\displaystyle{ 7}\)

21. Wielokat wypukły. Dane są \(\displaystyle{ 2n+1}\) prostych przechodzących przez jeden punkt (pęk prostych). Udowodnić, istnieje wielokąt wypukły mający \(\displaystyle{ 2(2n+1)}\) boków, którego przekatnymi są te proste, a każdy z boków jest równoległy do pewnej przekątnej. Dać przykład gdy \(\displaystyle{ n=3}\), i każde dwie przecinaja się pod katem 120 stopni.

22. [silicium2002]
Prosta i okręgi. Na płaszczyznie narysowano 100 okręgów współsrodkowych, tj wszystkie o środku S=\(\displaystyle{ (0,0)}\). Okrag \(\displaystyle{ O_m}\) ma równanie \(\displaystyle{ x^2+y^2=m^2}\) dla \(\displaystyle{ m=1, 2, ...,100}\) Następnie na największym z nich wybrano dwa punkty \(\displaystyle{ P(-\sqrt{7991}, -\sqrt{2009})}\) i \(\displaystyle{ Q(\sqrt{5000}, \sqrt{5000})}\). Ile spośród okreów \(\displaystyle{ O_m}\) przecina prosta \(\displaystyle{ PQ}\) ?

23. [mcbob]
Cztery liczby. Z przedziału \(\displaystyle{ <-1,1>}\) wybrano cztery liczby o sumie równej 0. Wykazać, ze zawsze mozna te liczby ustawić w ciag (tj. ponumerować) \(\displaystyle{ x_1, x_2, x_3, x_4}\) tak, iż
\(\displaystyle{ 0 \leq x_1 \leq 1}\)
\(\displaystyle{ 0 \leq x_1+ x_2 \leq 1}\)
\(\displaystyle{ 0 \leq x_1+ x_2+x_3 \leq 1}\)

24. [Zordon]
Trzy ciągi. Dane są trzy ciągi nieskończone, których elementami są liczby naturalne:
\(\displaystyle{ a_1, \ a_2, .....}\)
\(\displaystyle{ b_1, \ b_2, .....}\)
\(\displaystyle{ c_1, \ c_2, .....}\)
przy czym jeżeli \(\displaystyle{ i \neq j}\), to \(\displaystyle{ a_i \neq a_j}\), \(\displaystyle{ b_i \neq b_j}\) \(\displaystyle{ , c_i \neq c_j}\). Wykaż, że istnieje para wskaźników \(\displaystyle{ k, l}\) taka, że \(\displaystyle{ k< l}\), \(\displaystyle{ a_k< a_l, \ b_k <b_l , \ c_k < c_l}\)

25. [mcbob]
Niech \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) będą liczbami naturalnymi. Przy dzieleniu \(\displaystyle{ a^2+b^2}\) przez \(\displaystyle{ a+b}\) uzyskano wynik \(\displaystyle{ q}\) i resztę \(\displaystyle{ r}\).
Wyznaczyć wszystkie pary \(\displaystyle{ (a,b)}\) dla których \(\displaystyle{ q^2+r=1977}\)

26. [Dasio11]
Drzwi. Mieszkanie ma tylko jedne drzwi wejsciowe oraz co najmniej dwie takie izby, z których każda ma jedne drzwi, przy czym z każdej izby mieszkania do każdej innej izby tego mieszkania mozna przejść nie opuszczając mieszkania. Dowieść, że istnieje izba, która ma co najmniej troje drzwi.

27. Nierówność. Udowodnić nierówność
\(\displaystyle{ \frac{A+a+B+b}{A+a+B+b+c+r} + \frac{B+b+C+c}{B+b+C+c+a+r} > \frac{C+c+A+a}{C+c+A+a+b+r}}\)
w której wszystkie litery oznaczają liczby dodatnie

28. [Artist]
Znów Nierówność. Udowodnić że jeżeli \(\displaystyle{ a>b>c>0}\) to
\(\displaystyle{ \frac{a-b}{a+b} + \frac{b-c}{b+c} + \frac{c-a}{c+a} >0}\)

29. [alchemik]
Zadanie wczasowe. W schronisku turystycznym notowano rozkład dni słonecznych s w okresach trzydniowych. Zanotowano 365 trzydniówek, które objęły cały rok i dwa dni następnego roku, przy czym okazało się, że pierwsze dwa dni każdego roku były słoneczne. Stwierdzono, że układ ppp wystąpił 22 razy, ukłąd pps 38 razy, układ sps 43 razy i układ ssp 45 razy. Ile razy zdarzył się układ sss ?

30. Teoria rozgrywek sportowych. Klub szachowy im dra Sylwestra Szaradka ma 10 członków. Co roku odbywają się rozgrywki w celu podzielenia graczy na klasy. Każdy gra z każdym i to tyle partii, aby doszło do rozstrzygnięcia (remisy nie licza sie). Będziemy mówili, że "A" bije "B", jeśli A pobił B w tegorocznej rozgrywce. Takich rezultatów będzie po ukończeniu turnieju 45, a gracze rozpadną się na klasy, np. na takich którzy biją ośmiu; takich którzy biją siedmiu, itd. Zauważmy że sytem ten dopuszcza możliwość, ze "A" bije "B" , "B" bije "C" i "C" bije "A".
Pytanie dotyczy możliwych rezultatów klasyfikacyjnych. W szczególności, czy jest możliwe żeby klub rozpadł się na trzy klasy?

31* Dodatkowe - zaproponował je scyth.
Znaleźć wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f(x) \ne 0}\) takie, że dla każdego punktu \(\displaystyle{ x_0}\) pola trójkątów utworzonych przez punkty \(\displaystyle{ x_0, \ x_1, \ x_2}\), gdzie \(\displaystyle{ x_1}\) jest punktem przecięcia stycznej do \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ x_0}\) z osią \(\displaystyle{ OX}\), a \(\displaystyle{ x_2}\) jest punktem przecięcia normalnej do \(\displaystyle{ f}\) w \(\displaystyle{ x_0}\) z osią \(\displaystyle{ OX}\), są stałe (takie same).

4.

8. 20.
a)

mol_ksiazkowy pisze: 19. Podzielność i niepodzielnośc przez \(\displaystyle{ 169}\). Dowiesc, ze przy dowolnym \(\displaystyle{ n}\) całkowitym nieujemnym liczba \(\displaystyle{ 3^{3n}-26n-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 169}\). Dowiesc też, że przy dowolnym nieujemnym \(\displaystyle{ n}\) liczba \(\displaystyle{ n^2+5n+16}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ 169}\)

alchemik pisze: Można zauważyć, że ta liczba nigdy nie jest podzielna przez 13 korzystając z modulo

NIe można.
\(\displaystyle{ 4^{2}+5\cdot 4 +16=52=13 \cdot 4}\)

-- 10 sierpnia 2009, 13:43 --

silicium2002 pisze:8.

20.b) chyba błąd jest

oraz dowieść, ze dla n>1 ostatnią cyfrą liczby
\(\displaystyle{ 2^{2^{n}}+1}\)jest 7

nie sprawdza się dla n nieparzystych np. n = 3 wtedy mamy 65, winno być: \(\displaystyle{ 2^{2^{2^n}}}\) i \(\displaystyle{ n \in N}\)

\(\displaystyle{ 2^{2^{3}}+1=2^{8}+1=257}\)

-- 10 sierpnia 2009, 13:47 --

3. Reszta. Wyznacz resztę z dzielenia liczby \(\displaystyle{ 2^{49}!}\) przez \(\displaystyle{ 107*109}\)
Iloma zerami kończy się ta liczba ?

Tu napewno jest silnia? bo jeśli tak to reszta 0.

-- 10 sierpnia 2009, 13:53 --

15. Liczba jedynkowa. Udowodnij, że jeśli liczba 1111..11111 (n jedynek ) jest pierwsza, to liczba n też jest pierwsza.

24. 18.

Molu, czy rozwiązanie zadania wczasowego będzie 98? Wolę się upewnić, aniżeli pisać rozwiązanie a potem się okaże, że błąd ;].

6.

9.

mol_ksiazkowy pisze: 28. Znów Nierówność. Udowodnić że jeżeli \(\displaystyle{ a>b>c>0}\) to
\(\displaystyle{ \frac{a-b}{a+b} + \frac{b-c}{b+c} + \frac{c-a}{c+a} >0}\)

6
Minimum jest osiągane dla \(\displaystyle{ (x,y)=(2\sqrt{3} , \sqrt{3} )}\)

rodzyn7773 pisze: \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}a_i=n^2 \Rightarrow a_i=2i-1}\)

to mnie ciekawi , śmiałe stwierdzenie.