Matematyka.pl

1. Na płaszczyźnie umieszczone są koła o rozłącznych wnętrzach, i każde koło jest styczne do co najmniej sześciu spośród pozostałych kół. Udowodnić, że kół tych jest nieskończenie wiele. Czy istnieje na płaszczyźnie skończona ilość kół o rozłącznych wnętrzach , z których każde jest styczne do pewnych pięciu spośród pozostałych kół ?

2. Dane są liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, …, a_n}\) takie, że \(\displaystyle{ a_{k-1}+a_{k+1} \geq 2a_k}\) gdy \(\displaystyle{ 1 < k < n}\) oraz \(\displaystyle{ a_1 = a_n =0}\). Wykazać, że wszystkie \(\displaystyle{ a_j}\) są niedodatnie.

3. Udowodnić, że łamana zamknięta o pięciu bokach, której żadne trzy wierzchołki nie leżą na jednej prostej może przecinać się sama ze sobą w jednym, dwóch, trzech lub pięciu punktach, ale nie może przecinać się ze sobą w czterech punktach.

4. Niech \(\displaystyle{ f : (0, \infty) \mapsto R}\) jest funkcją wypukła i \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}} f(x) =0}\). Niech \(\displaystyle{ g(x)= \frac{f(x)}{x}}\) dla \(\displaystyle{ x >0}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją niemalejącą.

5. Liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) nazywa się użyteczną, jeśli dowolna liczba \(\displaystyle{ m< n}\) jest sumą parami różnych dzielników liczby \(\displaystyle{ n}\) (np. \(\displaystyle{ 6}\) jest użyteczna, ale \(\displaystyle{ 14}\) nie jest ). Wykazać, że iloczyn dwóch liczb użytecznych też jest liczbą użyteczną.

6. Jeśli \(\displaystyle{ N}\) jest liczbą czterocyfrową to niech \(\displaystyle{ R(N)}\) oznacza „\(\displaystyle{ N}\) od tyłu” (np. \(\displaystyle{ R(3275)=5723}\)). Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ N}\) takie, że \(\displaystyle{ R(N)=4N+3}\)

7. Na okręgu ułożono \(\displaystyle{ n \geq 5}\) liczb tak, że suma każdych trzech kolejnych jest nie większa niż \(\displaystyle{ 3}\) oraz suma każdych pięciu kolejnych liczb jest nie większa niż \(\displaystyle{ 5}\). Wykazać, że suma wszystkich liczb przyjmuje wartość maksymalną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie są równe \(\displaystyle{ 1}\).

8. Liczby rzeczywiste są takie, że \(\displaystyle{ a+\frac{1}{b}= b+\frac{1}{c}= c+\frac{1}{a}= p}\) przy czym wśród liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\) istnieją dwie różne . Znależć wszystkie możliwe wartości \(\displaystyle{ p}\) oraz wykazać że \(\displaystyle{ abc + p =0}\)

9. Udowodnić, że układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} [x]^2 + [y]= 0 \\ 3x+y = 2 \end {cases}}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań i dla wszystkich jego rozwiązań zachodzi
\(\displaystyle{ 0 < x< 4}\) i \(\displaystyle{ -9 \leq y \leq 1}\)

10. Pewna sieć lotnicza ma tę własność, że z każdego lotniska można przelecieć na każde inne (przesiadając się, być może wielokrotnie). Udowodnić, że pewne lotnisko można wycofać z eksploatacji (i zawiesić wszystkie z nim połączenia) nie tracąc tej własności.

11. Udowodnić (bez trygonometrii !!!) iż jeśli w trójkącie o bokach \(\displaystyle{ a, b, c}\), w którym kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) ma miarę \(\displaystyle{ 60^{o}}\) to jego pole \(\displaystyle{ S}\) wyraża wzór \(\displaystyle{ S=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 – (b-c)^2 )}\), zaś jeśli kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) ma miarę \(\displaystyle{ 120^{o}}\) to \(\displaystyle{ S=\frac{\sqrt{3}}{12}(a^2 – (b-c)^2 )}\),

12. Wielomiany \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) (oba stopnia \(\displaystyle{ \geq 1}\)) przyjmują wartości całkowite w tych samych punktach, tj. \(\displaystyle{ (U(x) \in Z) \Longleftrightarrow (V(x) \in Z)}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ U -V}\) albo \(\displaystyle{ U+V}\) jest wielomianem stopnia zero.

13. Dane są dwa równania: (*) i (**). Udowodnić, że (*) ma nie mniej rozwiązań niż (**)
w czwórkach \(\displaystyle{ (x, y, z, w)}\) liczb naturalnych, takich , że \(\displaystyle{ x, y, z, w < N}\)
(\(\displaystyle{ N}\) ustalona liczba naturalna).
(*) \(\displaystyle{ x^{19} \ – \ y^{19}= z^{17} \ – \ w^{17}}\)
(**) \(\displaystyle{ x^{19} \ – \ y^{19}= z^{17} \ – \ w^{17} +1}\)

14. Niech \(\displaystyle{ q_n}\) będzie liczbą elementów zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 2, …, 2^n \}}\) zaczynających się cyfrą \(\displaystyle{ 1}\) (w systemie dziesiętnym). Wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{q_n}{n}}\) jest zbieżny i obliczyć jego granicę.

15. W pewnym turnieju (każdy gra z każdym i nie ma remisów) wzięło udział \(\displaystyle{ 16}\) uczestników. Podać przykład jak mógł wyglądać przebieg takiego turnieju, w wyniku którego dowolnych \(\displaystyle{ 10}\) zawodników można posadzić „w okręgu” tak, by każdy z nich miał po lewej swej stronie sąsiada z którym wygrał.

16. Czy istnieje podzbiór płaszczyzny, którego rzut prostopadły na dowolną prostą jest sumą
a) dwóch
b) trzech
rozłącznych odcinków otwartych (tj. bez końców) ?

17. Niech określenie „\(\displaystyle{ m}\) dokładnie dzieli \(\displaystyle{ n}\)” (co zapisuje się \(\displaystyle{ m | | n}\)) oznacza, że: \(\displaystyle{ m}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ m \perp \frac{n}{m}}\)
(np. \(\displaystyle{ 6}\) dokładnie dzieli \(\displaystyle{ 150}\) ale „\(\displaystyle{ 6}\) dokładnie nie dzieli \(\displaystyle{ 84}\) )
a) Czy gdy \(\displaystyle{ m , n >0}\) to \(\displaystyle{ NWD(m, n) | | m}\) albo to \(\displaystyle{ NWD(m, n) | | n}\) ?
b) Czy z tego ,że \(\displaystyle{ k | | n}\) i \(\displaystyle{ m | | n}\) wynika, że \(\displaystyle{ km | | n}\) ?
c) Czy z tego ,że \(\displaystyle{ k | | n}\) i \(\displaystyle{ n | | m}\) wynika, że \(\displaystyle{ k | | m}\) ?
Uwaga: zapis \(\displaystyle{ m \perp n}\) oznacza, że liczby \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są względnie pierwsze.

18. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dowolną liczbą naturalną. Wyznaczyć sumę wszystkich cyfr występujących w zapisie dziesiętnym liczb:
\(\displaystyle{ 1, 2, … \ 10^n -2, \ 10^n -1}\)

19. a) Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+y)3^{y-x}= \frac{5}{27} \\ 3 log_5 (x+y)= x-y. \end {cases}}\)
b) Określić ile rozwiązań w liczbach rzeczywistych ma równanie
(i następnie podać je wszystkie):
\(\displaystyle{ (1+x)^4= 2(1+x^4).}\)

20. a) Rozstrzygnąć, czy istnieją różne liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y}\) takie, że
\(\displaystyle{ x^{y^{x}}= y^{x^{y}}}\) ?
b) czy istnieją parami różne liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z}\) takie, że
\(\displaystyle{ x^{y^{z}}= z^{y^{x}}}\) ?

21. Dowieść, że jeżeli wielokąt o nieparzystej liczbie boków jest wpisany w okrąg i ma wszystkie kąty równe, to jest on foremny

22. Liczby \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) są całkowite. Udowodnić, że równanie:
\(\displaystyle{ x^2+ax+b=y^2+cy+d}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań \(\displaystyle{ (x, y)}\) w liczbach całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a^2-4b=c^2-4d}\). Wskazać je jawnie w przykładzie \(\displaystyle{ (a, b, c, d)=(7, 11, 3, 1)}\).
Podać przykład czwórki \(\displaystyle{ (a, b, c, d)}\) dla których to równanie nie ma rozwiązań (całkowitoliczbowych).

23. Korzystając z własności funkcji \(\displaystyle{ F(x)= \frac{cos ( x)}{\sqrt[3]{sin (x)}} + x}\) rozstrzygnąć która z liczb jest większa:
\(\displaystyle{ A= cos(3)\sqrt[3]{sin (2)} - cos(2)\sqrt[3]{sin ( 3)}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{sin (2) \ sin (3)}}\) ?

24. Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a}\) dla których układ:
\(\displaystyle{ x+y = x^3+y^3=x^5+y^5 =a}\)
ma realizację (w liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ x, y}\)) .

25. Na niektórych polach szachownicy o wymiarach \(\displaystyle{ n \times n}\) ustawiono \(\displaystyle{ 2n}\) pionków. Wykazać, że znajdą się wśród nich cztery takie, które utworzą równoległobok.

26. Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie zbiorem (skończonym) punktów na płaszczyźnie, takim że dla dowolnych \(\displaystyle{ A, B \in S}\) na prostej \(\displaystyle{ AB}\) leży pewien punkt \(\displaystyle{ C}\) różny od \(\displaystyle{ A}\) i od \(\displaystyle{ B}\). Udowodnić, że wszystkie punkty zbioru \(\displaystyle{ S}\) są współliniowe.


[MIX]

+Rozumowanie bliskie poniższemu można znaleźć w książce Jarosława Górnickiego pt. Okruchy matematyki:

7.

ale niech ktoś sprawdzi czy gdzieś nie ma blefa.
pozdrawiam

-- 23 lip 2012, o 18:12 --

Odp dla Inkwizytora odn. 21:

To i ja się przyczepię, odnośnie 6:

cyberciq pisze:

10:    

Potraktujmy to jako graf nieskierowany, lotniska są wierzchołkami. Jeżeli istnieje krawędź pomiędzy wierzchołkami to znaczy, że mamy połączenie lotnicze pomiędzy lotniskami. Na mocy warunków zadania nasz graf jest grafem spójnym. I teraz mamy 2 przypadki:
1. Istnieje wierzchołek o stopniu równym \(\displaystyle{ 1}\). Wtedy wyrzucamy go i mamy ciągle graf spójny
2. Dla każdego wierzchołka jego stopień \(\displaystyle{ \ge 2}\). Wtedy:
a) albo jest 2-spójny i usunięcie jakiegokolwiek wierzchołka nie zaburza spójności
b) albo nie jest 2-spójny, ale na pewno każdy wierzchołek należy do jakiegoś cyklu prostego.Wtedy bierzemy wierzchołek, który należy tylko do jednego cyklu prostego i go usuwamy i dalej mamy spójność grafu. Jeśli każdy wierzchołek należy do więcej niż jednego cyklu prostego to wtedy każde dwa wierzchołki należą do jakiegoś cyklu prostego więc sprzeczność z tym,że nie jest 2-spójny

ale niech ktoś sprawdzi czy gdzieś nie ma blefa.
pozdrawiam

Poprawności nie zagwarantuję, bo grafy to jak dla mnie za dużo (przynajmniej na razie). Jednak wiem, że istnieje bardziej elementarne rozwiązanie, bo kiedyś widziałem i o ile dobrze pamiętam opierało się na poszukiwaniu ekstremów.

To ja się pochwalę

To teraz mnie się możecie poprzyczepiać: