[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11556
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3167 razy
Pomógł: 749 razy

[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III

Post autor: mol_ksiazkowy »

1. Na płaszczyźnie umieszczone są koła o rozłącznych wnętrzach, i każde koło jest styczne do co najmniej sześciu spośród pozostałych kół. Udowodnić, że kół tych jest nieskończenie wiele. Czy istnieje na płaszczyźnie skończona ilość kół o rozłącznych wnętrzach , z których każde jest styczne do pewnych pięciu spośród pozostałych kół ?

2. Dane są liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, …, a_n}\) takie, że \(\displaystyle{ a_{k-1}+a_{k+1} \geq 2a_k}\) gdy \(\displaystyle{ 1 < k < n}\) oraz \(\displaystyle{ a_1 = a_n =0}\). Wykazać, że wszystkie \(\displaystyle{ a_j}\) są niedodatnie.

3. Udowodnić, że łamana zamknięta o pięciu bokach, której żadne trzy wierzchołki nie leżą na jednej prostej może przecinać się sama ze sobą w jednym, dwóch, trzech lub pięciu punktach, ale nie może przecinać się ze sobą w czterech punktach.

4. Niech \(\displaystyle{ f : (0, \infty) \mapsto R}\) jest funkcją wypukła i \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}} f(x) =0}\). Niech \(\displaystyle{ g(x)= \frac{f(x)}{x}}\) dla \(\displaystyle{ x >0}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ g}\) jest funkcją niemalejącą.

5. Liczbę naturalną \(\displaystyle{ n}\) nazywa się użyteczną, jeśli dowolna liczba \(\displaystyle{ m< n}\) jest sumą parami różnych dzielników liczby \(\displaystyle{ n}\) (np. \(\displaystyle{ 6}\) jest użyteczna, ale \(\displaystyle{ 14}\) nie jest ). Wykazać, że iloczyn dwóch liczb użytecznych też jest liczbą użyteczną.

6. Jeśli \(\displaystyle{ N}\) jest liczbą czterocyfrową to niech \(\displaystyle{ R(N)}\) oznacza „\(\displaystyle{ N}\) od tyłu” (np. \(\displaystyle{ R(3275)=5723}\)). Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ N}\) takie, że \(\displaystyle{ R(N)=4N+3}\)

7. Na okręgu ułożono \(\displaystyle{ n \geq 5}\) liczb tak, że suma każdych trzech kolejnych jest nie większa niż \(\displaystyle{ 3}\) oraz suma każdych pięciu kolejnych liczb jest nie większa niż \(\displaystyle{ 5}\). Wykazać, że suma wszystkich liczb przyjmuje wartość maksymalną wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie są równe \(\displaystyle{ 1}\).

8. Liczby rzeczywiste są takie, że \(\displaystyle{ a+\frac{1}{b}= b+\frac{1}{c}= c+\frac{1}{a}= p}\) przy czym wśród liczb \(\displaystyle{ a, b, c}\) istnieją dwie różne . Znależć wszystkie możliwe wartości \(\displaystyle{ p}\) oraz wykazać że \(\displaystyle{ abc + p =0}\)

9. Udowodnić, że układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} [x]^2 + [y]= 0 \\ 3x+y = 2 \end {cases}}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań i dla wszystkich jego rozwiązań zachodzi
\(\displaystyle{ 0 < x< 4}\) i \(\displaystyle{ -9 \leq y \leq 1}\)

10. Pewna sieć lotnicza ma tę własność, że z każdego lotniska można przelecieć na każde inne (przesiadając się, być może wielokrotnie). Udowodnić, że pewne lotnisko można wycofać z eksploatacji (i zawiesić wszystkie z nim połączenia) nie tracąc tej własności.

11. Udowodnić (bez trygonometrii !!!) iż jeśli w trójkącie o bokach \(\displaystyle{ a, b, c}\), w którym kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) ma miarę \(\displaystyle{ 60^{o}}\) to jego pole \(\displaystyle{ S}\) wyraża wzór \(\displaystyle{ S=\frac{\sqrt{3}}{4}(a^2 – (b-c)^2 )}\), zaś jeśli kąt przy wierzchołku \(\displaystyle{ A}\) ma miarę \(\displaystyle{ 120^{o}}\) to \(\displaystyle{ S=\frac{\sqrt{3}}{12}(a^2 – (b-c)^2 )}\),

12. Wielomiany \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ V}\) (oba stopnia \(\displaystyle{ \geq 1}\)) przyjmują wartości całkowite w tych samych punktach, tj. \(\displaystyle{ (U(x) \in Z) \Longleftrightarrow (V(x) \in Z)}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ U -V}\) albo \(\displaystyle{ U+V}\) jest wielomianem stopnia zero.

13. Dane są dwa równania: (*) i (**). Udowodnić, że (*) ma nie mniej rozwiązań niż (**)
w czwórkach \(\displaystyle{ (x, y, z, w)}\) liczb naturalnych, takich , że \(\displaystyle{ x, y, z, w < N}\)
(\(\displaystyle{ N}\) ustalona liczba naturalna).
(*) \(\displaystyle{ x^{19} \ – \ y^{19}= z^{17} \ – \ w^{17}}\)
(**) \(\displaystyle{ x^{19} \ – \ y^{19}= z^{17} \ – \ w^{17} +1}\)

14. Niech \(\displaystyle{ q_n}\) będzie liczbą elementów zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, 2, …, 2^n \}}\) zaczynających się cyfrą \(\displaystyle{ 1}\) (w systemie dziesiętnym). Wykazać, że ciąg \(\displaystyle{ \frac{q_n}{n}}\) jest zbieżny i obliczyć jego granicę.

15. W pewnym turnieju (każdy gra z każdym i nie ma remisów) wzięło udział \(\displaystyle{ 16}\) uczestników. Podać przykład jak mógł wyglądać przebieg takiego turnieju, w wyniku którego dowolnych \(\displaystyle{ 10}\) zawodników można posadzić „w okręgu” tak, by każdy z nich miał po lewej swej stronie sąsiada z którym wygrał.

16. Czy istnieje podzbiór płaszczyzny, którego rzut prostopadły na dowolną prostą jest sumą
a) dwóch
b) trzech
rozłącznych odcinków otwartych (tj. bez końców) ?

17. Niech określenie „\(\displaystyle{ m}\) dokładnie dzieli \(\displaystyle{ n}\)” (co zapisuje się \(\displaystyle{ m | | n}\)) oznacza, że: \(\displaystyle{ m}\) dzieli \(\displaystyle{ n}\) oraz \(\displaystyle{ m \perp \frac{n}{m}}\)
(np. \(\displaystyle{ 6}\) dokładnie dzieli \(\displaystyle{ 150}\) ale „\(\displaystyle{ 6}\) dokładnie nie dzieli \(\displaystyle{ 84}\) )
a) Czy gdy \(\displaystyle{ m , n >0}\) to \(\displaystyle{ NWD(m, n) | | m}\) albo to \(\displaystyle{ NWD(m, n) | | n}\) ?
b) Czy z tego ,że \(\displaystyle{ k | | n}\) i \(\displaystyle{ m | | n}\) wynika, że \(\displaystyle{ km | | n}\) ?
c) Czy z tego ,że \(\displaystyle{ k | | n}\) i \(\displaystyle{ n | | m}\) wynika, że \(\displaystyle{ k | | m}\) ?
Uwaga: zapis \(\displaystyle{ m \perp n}\) oznacza, że liczby \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) są względnie pierwsze.

18. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie dowolną liczbą naturalną. Wyznaczyć sumę wszystkich cyfr występujących w zapisie dziesiętnym liczb:
\(\displaystyle{ 1, 2, … \ 10^n -2, \ 10^n -1}\)

19. a) Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} (x+y)3^{y-x}= \frac{5}{27} \\ 3 log_5 (x+y)= x-y. \end {cases}}\)
b) Określić ile rozwiązań w liczbach rzeczywistych ma równanie
(i następnie podać je wszystkie):
\(\displaystyle{ (1+x)^4= 2(1+x^4).}\)

20. a) Rozstrzygnąć, czy istnieją różne liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y}\) takie, że
\(\displaystyle{ x^{y^{x}}= y^{x^{y}}}\) ?
b) czy istnieją parami różne liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, z}\) takie, że
\(\displaystyle{ x^{y^{z}}= z^{y^{x}}}\) ?

21. Dowieść, że jeżeli wielokąt o nieparzystej liczbie boków jest wpisany w okrąg i ma wszystkie kąty równe, to jest on foremny

22. Liczby \(\displaystyle{ a, b, c, d}\) są całkowite. Udowodnić, że równanie:
\(\displaystyle{ x^2+ax+b=y^2+cy+d}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań \(\displaystyle{ (x, y)}\) w liczbach całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a^2-4b=c^2-4d}\). Wskazać je jawnie w przykładzie \(\displaystyle{ (a, b, c, d)=(7, 11, 3, 1)}\).
Podać przykład czwórki \(\displaystyle{ (a, b, c, d)}\) dla których to równanie nie ma rozwiązań (całkowitoliczbowych).

23. Korzystając z własności funkcji \(\displaystyle{ F(x)= \frac{cos ( x)}{\sqrt[3]{sin (x)}} + x}\) rozstrzygnąć która z liczb jest większa:
\(\displaystyle{ A= cos(3)\sqrt[3]{sin (2)} - cos(2)\sqrt[3]{sin ( 3)}}\) czy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{sin (2) \ sin (3)}}\) ?

24. Wyznaczyć wszystkie liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ a}\) dla których układ:
\(\displaystyle{ x+y = x^3+y^3=x^5+y^5 =a}\)
ma realizację (w liczbach rzeczywistych \(\displaystyle{ x, y}\)) .

25. Na niektórych polach szachownicy o wymiarach \(\displaystyle{ n \times n}\) ustawiono \(\displaystyle{ 2n}\) pionków. Wykazać, że znajdą się wśród nich cztery takie, które utworzą równoległobok.

26. Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie zbiorem (skończonym) punktów na płaszczyźnie, takim że dla dowolnych \(\displaystyle{ A, B \in S}\) na prostej \(\displaystyle{ AB}\) leży pewien punkt \(\displaystyle{ C}\) różny od \(\displaystyle{ A}\) i od \(\displaystyle{ B}\). Udowodnić, że wszystkie punkty zbioru \(\displaystyle{ S}\) są współliniowe.


[MIX]
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10246
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 41 razy
Pomógł: 2372 razy

[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III

Post autor: Dasio11 »

4.:    
+Rozumowanie bliskie poniższemu można znaleźć w książce Jarosława Górnickiego pt. Okruchy matematyki:
14.:    
Awatar użytkownika
skazy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 32
Rejestracja: 30 gru 2011, o 23:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chorzów / Warszawa
Pomógł: 2 razy

[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III

Post autor: skazy »

7.
Ukryta treść:    
porfirion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 319
Rejestracja: 6 gru 2011, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 26 razy

[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III

Post autor: porfirion »

18.:    
Awatar użytkownika
cyberciq
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 450
Rejestracja: 19 kwie 2010, o 15:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 43 razy

[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III

Post autor: cyberciq »

10:    
ale niech ktoś sprawdzi czy gdzieś nie ma blefa.
pozdrawiam
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III

Post autor: Inkwizytor »

21. - do poprawki:    
-- 23 lip 2012, o 18:12 --
6. -> poprawione po wskazówce Lorka:    
Ostatnio zmieniony 24 lip 2012, o 11:05 przez Inkwizytor, łącznie zmieniany 2 razy.
Panda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 342
Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 28 razy

[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III

Post autor: Panda »

Odp dla Inkwizytora odn. 21:
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7152
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1324 razy

[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III

Post autor: Lorek »

To i ja się przyczepię, odnośnie 6:
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III

Post autor: Ponewor »

cyberciq pisze:
10:    
ale niech ktoś sprawdzi czy gdzieś nie ma blefa.
pozdrawiam
Poprawności nie zagwarantuję, bo grafy to jak dla mnie za dużo (przynajmniej na razie). Jednak wiem, że istnieje bardziej elementarne rozwiązanie, bo kiedyś widziałem i o ile dobrze pamiętam opierało się na poszukiwaniu ekstremów.
Panda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 342
Rejestracja: 31 maja 2008, o 19:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 26 razy
Pomógł: 28 razy

[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III

Post autor: Panda »

10:    
porfirion
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 319
Rejestracja: 6 gru 2011, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 26 razy

[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III

Post autor: porfirion »

To ja się pochwalę
21:    
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7152
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1324 razy

[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III

Post autor: Lorek »

To teraz mnie się możecie poprzyczepiać:
20:    
Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 297 razy

[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III

Post autor: Ponewor »

19b:    
Awatar użytkownika
Lorek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7152
Rejestracja: 2 sty 2006, o 22:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ruda Śląska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1324 razy

[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III

Post autor: Lorek »

11:    
22:    
Ostatnio zmieniony 26 lip 2012, o 00:08 przez Lorek, łącznie zmieniany 1 raz.
Wasilewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3921
Rejestracja: 10 gru 2007, o 20:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 1194 razy

[MIX] Zestaw zadań na sezon ogórkowy III

Post autor: Wasilewski »

2:    
ODPOWIEDZ