[MIX] Zadania ze starych Delt

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Zadania ze starych Delt

Post autor: mol_ksiazkowy »

1. Suma odwrotności trzech liczb zespolonych \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3 }\) jest równa \(\displaystyle{ 0.}\) Udowodnić, że punkt \(\displaystyle{ (0,0) }\) jest wewnątrz trójkata o wierzchołkach \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3 }\).
2. Rozpatrzmy populację cząstek, które po upływie czasu życia (jednakowego dla wszystkich) znikają wytwarzając nowe cząstki. Liczba "potomków" danej cząstki jest zmienną losową \(\displaystyle{ X }\) niezależną od liczby istniejących cząstek i od historii procesu. Niech \(\displaystyle{ f }\) będzie funkcją tworzącą zmiennej \(\displaystyle{ X }\). Znaleźć funkcję tworzącą liczby potomków jednej cząstki w \(\displaystyle{ n }\) - tym pokoleniu. Udowodnić, że prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ q }\) tego, że proces się zakończy jest najmniejszym nieujemnym pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ s= f(s)}\) dla \(\displaystyle{ 0 \leq s \leq 1.}\)
3. W \(\displaystyle{ n }\)-tym wierszu umieszczone jest \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\) liczb naturalnych, w pierwszym wierszu jest liczba \(\displaystyle{ a >1}\), a pod każdą liczbą \(\displaystyle{ b }\) są umieszczone \(\displaystyle{ b+1 }\) i \(\displaystyle{ b^2 }\). Wykazać, że w każdym wierszu wszystkie liczby są różne.
4. Na szachownicy są jedynie konie: biały na b2 i czarny na g7. Wygrywa ten kto zbije konia przeciwnika. Zaczyna biały. Kto wygra ? A może jest remis ?
* Rozważyć jak zmieni się odpowiedź dla innych konfiguracji początkowych
5. W zbiorze \(\displaystyle{ X }\) określone są relacje \(\displaystyle{ Q }\) i \(\displaystyle{ R }\). Relacja \(\displaystyle{ R }\) jest symetryczna, \(\displaystyle{ Q }\) i \(\displaystyle{ R }\) są przechodnie, oraz dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in X }\) mamy \(\displaystyle{ xRy }\) lub \(\displaystyle{ xQy }\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ R }\) lub \(\displaystyle{ Q }\) jest relacją pełną.
6. Udowodnić, że płaszczyzna bez jednego punktu nie jest sumą prostych rozłącznych.
7. Trzy okręgi \(\displaystyle{ K, K_1, K_2 }\) są położone tak, że ich środki są współliniowe, \(\displaystyle{ K_1 }\) i \(\displaystyle{ K_2 }\) są styczne zewnętrznie a \(\displaystyle{ K }\) jest styczny wewnętrznie do \(\displaystyle{ K_1 }\) i do \(\displaystyle{ K_2}\). Przez punkt styczności okręgów \(\displaystyle{ K_1 }\) i \(\displaystyle{ K_2 }\) narysowano cięciwę okręgu \(\displaystyle{ K }\). Udowodnić, że odcinki tej cięciwy będące na zewnątrz \(\displaystyle{ K_1 }\) i \(\displaystyle{ K_2 }\) są równe.

8. Czy mając do dyspozycji cztery kolory można pomalować każdą liczbę rzeczywistą nieujemną jednym z nich w taki sposób, aby żadna trójka \(\displaystyle{ a, b, c}\) taka, że \(\displaystyle{ a+b =2c+2}\) nie była jednokolorowa ?
9. Ile razy może się odbić wiązka światła od prostych, któte są do siebie pod kątem \(\displaystyle{ 1^\circ }\) ?
10. Konstrukcje geometryczne: Dany jest okrąg i punkty \(\displaystyle{ A, B, P }\). Należy narysować proste jedną przez \(\displaystyle{ A, }\) a drugą przez \(\displaystyle{ B }\), aby punkt \(\displaystyle{ P }\) był na przekątnej czworokąta jaki powstanie z przecięcia się ich z okręgiem.
11. Na dziesięciu drzewach umieszczonych współokręgowo siedzą wiewiórki (jedna na każdym drzewie). Od czasu do czasu dwie z nich przeskakują równocześnie na sąsiednie drzewa. Czy może się zdarzyć, że wszystkie wskoczą kiedyś na jedno drzewo ?
12. Dany jest zbiór \(\displaystyle{ S}\) na płaszczyźnie. Punkt \(\displaystyle{ A \in S}\) nazywa się punktem widokowym zbioru \(\displaystyle{ S}\), jeśli dla każdego punktu \(\displaystyle{ X \in S}\) odcinek \(\displaystyle{ AX}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ S}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są punktami widokowymi zbioru \(\displaystyle{ S}\), to każdy punkt odcinka \(\displaystyle{ AB}\) też jest punktem widokowym zbioru \(\displaystyle{ S}\).
13. Czy jeśli trzy prostopadłe przekroje wypukłego wielościanu, który ma środek symetrii są kwadratami, to ten wielościan jest sześcianem ?
14. Wyznaczyć największą liczbę parzystą, która nie jest sumą dwóch liczb złożonych nieparzystych.

15. Wykazać, iż dowolny wielokąt wypukły o polu \(\displaystyle{ 1 }\) można przykryć trójkątem o polu \(\displaystyle{ 4 }\).
16. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2 = x_3 \\ ... \\ x_{j-1}+ x_j = x_{j+1} \\ ... \\ x_n + x_1 = x_2 \end{cases}}\)
( \(\displaystyle{ n>3}\) ).
17. Udowodnić, że jeśli w czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ AC+ CD > AB + BD }\) to \(\displaystyle{ AB < AC}\). Czy zachodzi twierdzenie odwrotne i czy zadanie uogólnia się na czworokąty niewypukłe ?
18. Na okręgu wypisano \(\displaystyle{ n \geq 5 }\) liczb, przy czym suma trzech kolejnych (dowolnych) z nich jest nie większa niż \(\displaystyle{ 3}\), a suma pięciu kolejnych (dowolnych) z nich jest nie większa niż \(\displaystyle{ 5}\). Wykazać, że suma wszystkich tych liczb przyjmuje wartość maksymalną, jeśli one są równe \(\displaystyle{ 1}\).
19. Król zaprosił na przyjęcie \(\displaystyle{ 44}\) rycerzy. Każdy rycerz ma nie więcej niż trzech wrogów (jeśli \(\displaystyle{ X }\) jest wrogiem \(\displaystyle{ Y }\), to \(\displaystyle{ Y}\) jest wrogiem \(\displaystyle{ X }\)). Udowodnić, że można usadzić rycerzy przy dwóch okrągłych stołach tak, aby każdy rycerz miał co najwyżej jednego wroga za sąsiada.

20. Dwaj gracze o kapitałach \(\displaystyle{ m }\) i \(\displaystyle{ n}\) żetonów graj a w "orła i reszkę". Wyznaczyć średni czas gry (gra kończy się, gdy jeden z nich jest zrujnowany).
21. Jak nietrudno zauważyć istnieje sześć punktów takich, że dowolne trzy z nich są wierzchołkami trójkąta równoramiennego (wierzchołki pięciokąta foremnego i jego środek). A czy istnieje siedem punktów na płaszczyźnie o tej własności ?
22. Wykazać, że \(\displaystyle{ |16x^5 - 20x^3 +5x| \leq 1}\) gdy \(\displaystyle{ |x| \leq 1. }\)
23. Czy istnieją wielomiany \(\displaystyle{ P, Q, R}\), które spełniają tożsamościowo równość
\(\displaystyle{ (x-y+1)^5 P(x,y,z)+ (y-z-1)^5 Q(x,y,z)+ (z-x+1)^5 R(x,y,z) = 1}\)
?
24. Czy z każdego ciągu niestałego arytmetycznego o wyrazach rzeczywistych można wyjąć nieskończony podciąg, który jest ciągiem geometrycznym ? Czy odpowiedź zmieni się jeśli rozważać ciągi całkowitoliczbowe ?
25. Funkcja \(\displaystyle{ f }\) odwzorowująca zbiór liczb całkowitych dodatnich w siebie jest niemalejąca i taka, że \(\displaystyle{ f(ab)= f(a)f(b)}\) o ile \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze.
Wykazać, że \(\displaystyle{ f(8)f(13) \geq (f(10))^2.}\)

26. Mając dane
\(\displaystyle{ a+b+c =a^2+b^2+c^2 =a^3+b^3+c^3 =1 }\)
obliczyć \(\displaystyle{ abc.}\)
27. Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną (o ile istnieje), które jest podzielna przez \(\displaystyle{ 13,}\) i każda liczba powstała przez cykliczne przedstawienie w niej cyfr też jest podzielna przez \(\displaystyle{ 13.}\)
Cykliczne przestawienie cyfr np. dla \(\displaystyle{ n=1234 }\) to \(\displaystyle{ 4123, \ 3412, \ 2341 }\) itd.
28. Pociąg przejechał \(\displaystyle{ 320\,\text{km}}\) w \(\displaystyle{ 4}\) godziny. Udowodnić, że pewien odcinek drogi \(\displaystyle{ 80\,\text{km}}\) przebył dokładnie w godzinę.
29. Udowodnić elementarnie (bez twierdzenia Dirichleta), że liczb pierwszych w formie \(\displaystyle{ 4k+3 }\) jest nieskończenie wiele.
30. Zadanie z 18 tką> Wykazać, że jeśli dowolnie etykietować punkty zaznaczonego na rysunku grafu, liczbami \(\displaystyle{ 1,...,18}\) to istnieje krawędź, dla którego różnica numerów końców będzie większa od trzech.
Załączniki
cds.jpg
cds.jpg (6.4 KiB) Przejrzano 2717 razy
Ostatnio zmieniony 1 cze 2023, o 21:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Zadania ze starych Delt

Post autor: a4karo »

1:    
Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8570
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 306 razy
Pomógł: 3347 razy

Re: [MIX] Zadania ze starych Delt

Post autor: kerajs »

11:    
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Zadania ze starych Delt

Post autor: a4karo »

26:    
Dodano po 13 minutach 23 sekundach:
28:    
Dodano po 1 godzinie 35 minutach 1 sekundzie:
13:    
Dodano po 15 minutach 50 sekundach:
22:    
Dodano po 7 godzinach 35 minutach 5 sekundach:
4:    
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: [MIX] Zadania ze starych Delt

Post autor: Dasio11 »

29:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [MIX] Zadania ze starych Delt

Post autor: mol_ksiazkowy »

25 szkic
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: [MIX] Zadania ze starych Delt

Post autor: Dasio11 »

25:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Zadania ze starych Delt

Post autor: Premislav »

14.:    
Ostatnio zmieniony 5 cze 2023, o 10:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [MIX] Zadania ze starych Delt

Post autor: mol_ksiazkowy »

4 cd
Ukryta treść:    
16.
Ukryta treść:    
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Zadania ze starych Delt

Post autor: a4karo »

mol_ksiazkowy pisze: 5 cze 2023, o 11:11 4 cd
Ukryta treść:    
Nie kumam?

16.
Ukryta treść:    
Pomysł dobry, tylko trzeba najpierw uzasadnić, że żadne `x_j` nie jest zerem
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: [MIX] Zadania ze starych Delt

Post autor: Dasio11 »

a4karo pisze: 5 cze 2023, o 13:28Pomysł dobry, tylko trzeba najpierw uzasadnić, że żadne `x_j` nie jest zerem
Dlaczego? Przecież przejścia nie muszą być równoważne, wystarczają implikacje.

23 (nieelementarnie):    
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Zadania ze starych Delt

Post autor: a4karo »

Dasio11 pisze: 5 cze 2023, o 14:12
a4karo pisze: 5 cze 2023, o 13:28Pomysł dobry, tylko trzeba najpierw uzasadnić, że żadne `x_j` nie jest zerem
Dlaczego? Przecież przejścia nie muszą być równoważne, wystarczają implikacje.

Racja. Odszczekuje
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Re: [MIX] Zadania ze starych Delt

Post autor: Mariusz M »

16.
Ukryta treść:    
Rozwiązanie zerowe zauważyłem od razu jednak to czy ono jest jedyne próbowałem wykazać bawiąc się wyznacznikami

Po napisaniu programiku w C# i wypisaniu kilku początkowych wyznaczników
postawiłem hipotezę że spełniają one następujące równanie rekurencyjne

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{4}=-5 \\ a_{5}=11\\a_{6}=-16\\a_{7}=29\\a_{n}=-a_{n-1}+2a_{n-2}+a_{n-3}-a_{n-4} \qquad n \ge 8 \end{cases} }\)

Przydałoby się jeszcze pokazać prawdziwość mojej hipotezy

Jednak odgadłem tę rekurencję na podstawie wyznaczników dla kilku początkowych n
a nie bawiąc się rozwinięciem Laplace czy własnościami wyznaczników
Miałem taki pomysł aby pokazać że dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\)
ten ciąg nie będzie miał zerowych wyrazów
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11266
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3143 razy
Pomógł: 747 razy

Re: [MIX] Zadania ze starych Delt

Post autor: mol_ksiazkowy »

16 cd
Ukryta treść:    
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Zadania ze starych Delt

Post autor: a4karo »

mol_ksiazkowy pisze: 5 cze 2023, o 18:58 16 cd
Ukryta treść:    
Ukryta treść:    
ODPOWIEDZ