[MIX] Zadania ze starych Delt
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
[MIX] Zadania ze starych Delt
1. Suma odwrotności trzech liczb zespolonych \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3 }\) jest równa \(\displaystyle{ 0.}\) Udowodnić, że punkt \(\displaystyle{ (0,0) }\) jest wewnątrz trójkata o wierzchołkach \(\displaystyle{ z_1, z_2, z_3 }\).
2. Rozpatrzmy populację cząstek, które po upływie czasu życia (jednakowego dla wszystkich) znikają wytwarzając nowe cząstki. Liczba "potomków" danej cząstki jest zmienną losową \(\displaystyle{ X }\) niezależną od liczby istniejących cząstek i od historii procesu. Niech \(\displaystyle{ f }\) będzie funkcją tworzącą zmiennej \(\displaystyle{ X }\). Znaleźć funkcję tworzącą liczby potomków jednej cząstki w \(\displaystyle{ n }\) - tym pokoleniu. Udowodnić, że prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ q }\) tego, że proces się zakończy jest najmniejszym nieujemnym pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ s= f(s)}\) dla \(\displaystyle{ 0 \leq s \leq 1.}\)
3. W \(\displaystyle{ n }\)-tym wierszu umieszczone jest \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\) liczb naturalnych, w pierwszym wierszu jest liczba \(\displaystyle{ a >1}\), a pod każdą liczbą \(\displaystyle{ b }\) są umieszczone \(\displaystyle{ b+1 }\) i \(\displaystyle{ b^2 }\). Wykazać, że w każdym wierszu wszystkie liczby są różne.
4. Na szachownicy są jedynie konie: biały na b2 i czarny na g7. Wygrywa ten kto zbije konia przeciwnika. Zaczyna biały. Kto wygra ? A może jest remis ?
* Rozważyć jak zmieni się odpowiedź dla innych konfiguracji początkowych
5. W zbiorze \(\displaystyle{ X }\) określone są relacje \(\displaystyle{ Q }\) i \(\displaystyle{ R }\). Relacja \(\displaystyle{ R }\) jest symetryczna, \(\displaystyle{ Q }\) i \(\displaystyle{ R }\) są przechodnie, oraz dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in X }\) mamy \(\displaystyle{ xRy }\) lub \(\displaystyle{ xQy }\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ R }\) lub \(\displaystyle{ Q }\) jest relacją pełną.
6. Udowodnić, że płaszczyzna bez jednego punktu nie jest sumą prostych rozłącznych.
7. Trzy okręgi \(\displaystyle{ K, K_1, K_2 }\) są położone tak, że ich środki są współliniowe, \(\displaystyle{ K_1 }\) i \(\displaystyle{ K_2 }\) są styczne zewnętrznie a \(\displaystyle{ K }\) jest styczny wewnętrznie do \(\displaystyle{ K_1 }\) i do \(\displaystyle{ K_2}\). Przez punkt styczności okręgów \(\displaystyle{ K_1 }\) i \(\displaystyle{ K_2 }\) narysowano cięciwę okręgu \(\displaystyle{ K }\). Udowodnić, że odcinki tej cięciwy będące na zewnątrz \(\displaystyle{ K_1 }\) i \(\displaystyle{ K_2 }\) są równe.
8. Czy mając do dyspozycji cztery kolory można pomalować każdą liczbę rzeczywistą nieujemną jednym z nich w taki sposób, aby żadna trójka \(\displaystyle{ a, b, c}\) taka, że \(\displaystyle{ a+b =2c+2}\) nie była jednokolorowa ?
9. Ile razy może się odbić wiązka światła od prostych, któte są do siebie pod kątem \(\displaystyle{ 1^\circ }\) ?
10. Konstrukcje geometryczne: Dany jest okrąg i punkty \(\displaystyle{ A, B, P }\). Należy narysować proste jedną przez \(\displaystyle{ A, }\) a drugą przez \(\displaystyle{ B }\), aby punkt \(\displaystyle{ P }\) był na przekątnej czworokąta jaki powstanie z przecięcia się ich z okręgiem.
11. Na dziesięciu drzewach umieszczonych współokręgowo siedzą wiewiórki (jedna na każdym drzewie). Od czasu do czasu dwie z nich przeskakują równocześnie na sąsiednie drzewa. Czy może się zdarzyć, że wszystkie wskoczą kiedyś na jedno drzewo ?
12. Dany jest zbiór \(\displaystyle{ S}\) na płaszczyźnie. Punkt \(\displaystyle{ A \in S}\) nazywa się punktem widokowym zbioru \(\displaystyle{ S}\), jeśli dla każdego punktu \(\displaystyle{ X \in S}\) odcinek \(\displaystyle{ AX}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ S}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są punktami widokowymi zbioru \(\displaystyle{ S}\), to każdy punkt odcinka \(\displaystyle{ AB}\) też jest punktem widokowym zbioru \(\displaystyle{ S}\).
13. Czy jeśli trzy prostopadłe przekroje wypukłego wielościanu, który ma środek symetrii są kwadratami, to ten wielościan jest sześcianem ?
14. Wyznaczyć największą liczbę parzystą, która nie jest sumą dwóch liczb złożonych nieparzystych.
15. Wykazać, iż dowolny wielokąt wypukły o polu \(\displaystyle{ 1 }\) można przykryć trójkątem o polu \(\displaystyle{ 4 }\).
16. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2 = x_3 \\ ... \\ x_{j-1}+ x_j = x_{j+1} \\ ... \\ x_n + x_1 = x_2 \end{cases}}\)
( \(\displaystyle{ n>3}\) ).
17. Udowodnić, że jeśli w czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ AC+ CD > AB + BD }\) to \(\displaystyle{ AB < AC}\). Czy zachodzi twierdzenie odwrotne i czy zadanie uogólnia się na czworokąty niewypukłe ?
18. Na okręgu wypisano \(\displaystyle{ n \geq 5 }\) liczb, przy czym suma trzech kolejnych (dowolnych) z nich jest nie większa niż \(\displaystyle{ 3}\), a suma pięciu kolejnych (dowolnych) z nich jest nie większa niż \(\displaystyle{ 5}\). Wykazać, że suma wszystkich tych liczb przyjmuje wartość maksymalną, jeśli one są równe \(\displaystyle{ 1}\).
19. Król zaprosił na przyjęcie \(\displaystyle{ 44}\) rycerzy. Każdy rycerz ma nie więcej niż trzech wrogów (jeśli \(\displaystyle{ X }\) jest wrogiem \(\displaystyle{ Y }\), to \(\displaystyle{ Y}\) jest wrogiem \(\displaystyle{ X }\)). Udowodnić, że można usadzić rycerzy przy dwóch okrągłych stołach tak, aby każdy rycerz miał co najwyżej jednego wroga za sąsiada.
20. Dwaj gracze o kapitałach \(\displaystyle{ m }\) i \(\displaystyle{ n}\) żetonów graj a w "orła i reszkę". Wyznaczyć średni czas gry (gra kończy się, gdy jeden z nich jest zrujnowany).
21. Jak nietrudno zauważyć istnieje sześć punktów takich, że dowolne trzy z nich są wierzchołkami trójkąta równoramiennego (wierzchołki pięciokąta foremnego i jego środek). A czy istnieje siedem punktów na płaszczyźnie o tej własności ?
22. Wykazać, że \(\displaystyle{ |16x^5 - 20x^3 +5x| \leq 1}\) gdy \(\displaystyle{ |x| \leq 1. }\)
23. Czy istnieją wielomiany \(\displaystyle{ P, Q, R}\), które spełniają tożsamościowo równość
\(\displaystyle{ (x-y+1)^5 P(x,y,z)+ (y-z-1)^5 Q(x,y,z)+ (z-x+1)^5 R(x,y,z) = 1}\)
?
24. Czy z każdego ciągu niestałego arytmetycznego o wyrazach rzeczywistych można wyjąć nieskończony podciąg, który jest ciągiem geometrycznym ? Czy odpowiedź zmieni się jeśli rozważać ciągi całkowitoliczbowe ?
25. Funkcja \(\displaystyle{ f }\) odwzorowująca zbiór liczb całkowitych dodatnich w siebie jest niemalejąca i taka, że \(\displaystyle{ f(ab)= f(a)f(b)}\) o ile \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze.
Wykazać, że \(\displaystyle{ f(8)f(13) \geq (f(10))^2.}\)
26. Mając dane
\(\displaystyle{ a+b+c =a^2+b^2+c^2 =a^3+b^3+c^3 =1 }\)
obliczyć \(\displaystyle{ abc.}\)
27. Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną (o ile istnieje), które jest podzielna przez \(\displaystyle{ 13,}\) i każda liczba powstała przez cykliczne przedstawienie w niej cyfr też jest podzielna przez \(\displaystyle{ 13.}\)
Cykliczne przestawienie cyfr np. dla \(\displaystyle{ n=1234 }\) to \(\displaystyle{ 4123, \ 3412, \ 2341 }\) itd.
28. Pociąg przejechał \(\displaystyle{ 320\,\text{km}}\) w \(\displaystyle{ 4}\) godziny. Udowodnić, że pewien odcinek drogi \(\displaystyle{ 80\,\text{km}}\) przebył dokładnie w godzinę.
29. Udowodnić elementarnie (bez twierdzenia Dirichleta), że liczb pierwszych w formie \(\displaystyle{ 4k+3 }\) jest nieskończenie wiele.
30. Zadanie z 18 tką> Wykazać, że jeśli dowolnie etykietować punkty zaznaczonego na rysunku grafu, liczbami \(\displaystyle{ 1,...,18}\) to istnieje krawędź, dla którego różnica numerów końców będzie większa od trzech.
2. Rozpatrzmy populację cząstek, które po upływie czasu życia (jednakowego dla wszystkich) znikają wytwarzając nowe cząstki. Liczba "potomków" danej cząstki jest zmienną losową \(\displaystyle{ X }\) niezależną od liczby istniejących cząstek i od historii procesu. Niech \(\displaystyle{ f }\) będzie funkcją tworzącą zmiennej \(\displaystyle{ X }\). Znaleźć funkcję tworzącą liczby potomków jednej cząstki w \(\displaystyle{ n }\) - tym pokoleniu. Udowodnić, że prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ q }\) tego, że proces się zakończy jest najmniejszym nieujemnym pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ s= f(s)}\) dla \(\displaystyle{ 0 \leq s \leq 1.}\)
3. W \(\displaystyle{ n }\)-tym wierszu umieszczone jest \(\displaystyle{ 2^{n-1}}\) liczb naturalnych, w pierwszym wierszu jest liczba \(\displaystyle{ a >1}\), a pod każdą liczbą \(\displaystyle{ b }\) są umieszczone \(\displaystyle{ b+1 }\) i \(\displaystyle{ b^2 }\). Wykazać, że w każdym wierszu wszystkie liczby są różne.
4. Na szachownicy są jedynie konie: biały na b2 i czarny na g7. Wygrywa ten kto zbije konia przeciwnika. Zaczyna biały. Kto wygra ? A może jest remis ?
* Rozważyć jak zmieni się odpowiedź dla innych konfiguracji początkowych
5. W zbiorze \(\displaystyle{ X }\) określone są relacje \(\displaystyle{ Q }\) i \(\displaystyle{ R }\). Relacja \(\displaystyle{ R }\) jest symetryczna, \(\displaystyle{ Q }\) i \(\displaystyle{ R }\) są przechodnie, oraz dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y \in X }\) mamy \(\displaystyle{ xRy }\) lub \(\displaystyle{ xQy }\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ R }\) lub \(\displaystyle{ Q }\) jest relacją pełną.
6. Udowodnić, że płaszczyzna bez jednego punktu nie jest sumą prostych rozłącznych.
7. Trzy okręgi \(\displaystyle{ K, K_1, K_2 }\) są położone tak, że ich środki są współliniowe, \(\displaystyle{ K_1 }\) i \(\displaystyle{ K_2 }\) są styczne zewnętrznie a \(\displaystyle{ K }\) jest styczny wewnętrznie do \(\displaystyle{ K_1 }\) i do \(\displaystyle{ K_2}\). Przez punkt styczności okręgów \(\displaystyle{ K_1 }\) i \(\displaystyle{ K_2 }\) narysowano cięciwę okręgu \(\displaystyle{ K }\). Udowodnić, że odcinki tej cięciwy będące na zewnątrz \(\displaystyle{ K_1 }\) i \(\displaystyle{ K_2 }\) są równe.
8. Czy mając do dyspozycji cztery kolory można pomalować każdą liczbę rzeczywistą nieujemną jednym z nich w taki sposób, aby żadna trójka \(\displaystyle{ a, b, c}\) taka, że \(\displaystyle{ a+b =2c+2}\) nie była jednokolorowa ?
9. Ile razy może się odbić wiązka światła od prostych, któte są do siebie pod kątem \(\displaystyle{ 1^\circ }\) ?
10. Konstrukcje geometryczne: Dany jest okrąg i punkty \(\displaystyle{ A, B, P }\). Należy narysować proste jedną przez \(\displaystyle{ A, }\) a drugą przez \(\displaystyle{ B }\), aby punkt \(\displaystyle{ P }\) był na przekątnej czworokąta jaki powstanie z przecięcia się ich z okręgiem.
11. Na dziesięciu drzewach umieszczonych współokręgowo siedzą wiewiórki (jedna na każdym drzewie). Od czasu do czasu dwie z nich przeskakują równocześnie na sąsiednie drzewa. Czy może się zdarzyć, że wszystkie wskoczą kiedyś na jedno drzewo ?
12. Dany jest zbiór \(\displaystyle{ S}\) na płaszczyźnie. Punkt \(\displaystyle{ A \in S}\) nazywa się punktem widokowym zbioru \(\displaystyle{ S}\), jeśli dla każdego punktu \(\displaystyle{ X \in S}\) odcinek \(\displaystyle{ AX}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ S}\). Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) są punktami widokowymi zbioru \(\displaystyle{ S}\), to każdy punkt odcinka \(\displaystyle{ AB}\) też jest punktem widokowym zbioru \(\displaystyle{ S}\).
13. Czy jeśli trzy prostopadłe przekroje wypukłego wielościanu, który ma środek symetrii są kwadratami, to ten wielościan jest sześcianem ?
14. Wyznaczyć największą liczbę parzystą, która nie jest sumą dwóch liczb złożonych nieparzystych.
15. Wykazać, iż dowolny wielokąt wypukły o polu \(\displaystyle{ 1 }\) można przykryć trójkątem o polu \(\displaystyle{ 4 }\).
16. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2 = x_3 \\ ... \\ x_{j-1}+ x_j = x_{j+1} \\ ... \\ x_n + x_1 = x_2 \end{cases}}\)
( \(\displaystyle{ n>3}\) ).
17. Udowodnić, że jeśli w czworokącie wypukłym \(\displaystyle{ AC+ CD > AB + BD }\) to \(\displaystyle{ AB < AC}\). Czy zachodzi twierdzenie odwrotne i czy zadanie uogólnia się na czworokąty niewypukłe ?
18. Na okręgu wypisano \(\displaystyle{ n \geq 5 }\) liczb, przy czym suma trzech kolejnych (dowolnych) z nich jest nie większa niż \(\displaystyle{ 3}\), a suma pięciu kolejnych (dowolnych) z nich jest nie większa niż \(\displaystyle{ 5}\). Wykazać, że suma wszystkich tych liczb przyjmuje wartość maksymalną, jeśli one są równe \(\displaystyle{ 1}\).
19. Król zaprosił na przyjęcie \(\displaystyle{ 44}\) rycerzy. Każdy rycerz ma nie więcej niż trzech wrogów (jeśli \(\displaystyle{ X }\) jest wrogiem \(\displaystyle{ Y }\), to \(\displaystyle{ Y}\) jest wrogiem \(\displaystyle{ X }\)). Udowodnić, że można usadzić rycerzy przy dwóch okrągłych stołach tak, aby każdy rycerz miał co najwyżej jednego wroga za sąsiada.
20. Dwaj gracze o kapitałach \(\displaystyle{ m }\) i \(\displaystyle{ n}\) żetonów graj a w "orła i reszkę". Wyznaczyć średni czas gry (gra kończy się, gdy jeden z nich jest zrujnowany).
21. Jak nietrudno zauważyć istnieje sześć punktów takich, że dowolne trzy z nich są wierzchołkami trójkąta równoramiennego (wierzchołki pięciokąta foremnego i jego środek). A czy istnieje siedem punktów na płaszczyźnie o tej własności ?
22. Wykazać, że \(\displaystyle{ |16x^5 - 20x^3 +5x| \leq 1}\) gdy \(\displaystyle{ |x| \leq 1. }\)
23. Czy istnieją wielomiany \(\displaystyle{ P, Q, R}\), które spełniają tożsamościowo równość
\(\displaystyle{ (x-y+1)^5 P(x,y,z)+ (y-z-1)^5 Q(x,y,z)+ (z-x+1)^5 R(x,y,z) = 1}\)
?
24. Czy z każdego ciągu niestałego arytmetycznego o wyrazach rzeczywistych można wyjąć nieskończony podciąg, który jest ciągiem geometrycznym ? Czy odpowiedź zmieni się jeśli rozważać ciągi całkowitoliczbowe ?
25. Funkcja \(\displaystyle{ f }\) odwzorowująca zbiór liczb całkowitych dodatnich w siebie jest niemalejąca i taka, że \(\displaystyle{ f(ab)= f(a)f(b)}\) o ile \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są względnie pierwsze.
Wykazać, że \(\displaystyle{ f(8)f(13) \geq (f(10))^2.}\)
26. Mając dane
\(\displaystyle{ a+b+c =a^2+b^2+c^2 =a^3+b^3+c^3 =1 }\)
obliczyć \(\displaystyle{ abc.}\)
27. Wyznaczyć najmniejszą liczbę naturalną (o ile istnieje), które jest podzielna przez \(\displaystyle{ 13,}\) i każda liczba powstała przez cykliczne przedstawienie w niej cyfr też jest podzielna przez \(\displaystyle{ 13.}\)
Cykliczne przestawienie cyfr np. dla \(\displaystyle{ n=1234 }\) to \(\displaystyle{ 4123, \ 3412, \ 2341 }\) itd.
28. Pociąg przejechał \(\displaystyle{ 320\,\text{km}}\) w \(\displaystyle{ 4}\) godziny. Udowodnić, że pewien odcinek drogi \(\displaystyle{ 80\,\text{km}}\) przebył dokładnie w godzinę.
29. Udowodnić elementarnie (bez twierdzenia Dirichleta), że liczb pierwszych w formie \(\displaystyle{ 4k+3 }\) jest nieskończenie wiele.
30. Zadanie z 18 tką> Wykazać, że jeśli dowolnie etykietować punkty zaznaczonego na rysunku grafu, liczbami \(\displaystyle{ 1,...,18}\) to istnieje krawędź, dla którego różnica numerów końców będzie większa od trzech.
- Załączniki
-
- cds.jpg (6.4 KiB) Przejrzano 2917 razy
Ostatnio zmieniony 1 cze 2023, o 21:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: [MIX] Zadania ze starych Delt
26:
28:
13:
22:
4:
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5221 razy
Re: [MIX] Zadania ze starych Delt
14.:
Ostatnio zmieniony 5 cze 2023, o 10:22 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Powód: Poprawa wiadomości.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
Re: [MIX] Zadania ze starych Delt
Nie kumam?
Pomysł dobry, tylko trzeba najpierw uzasadnić, że żadne `x_j` nie jest zerem
16.Ukryta treść:
- Dasio11
- Moderator
- Posty: 10226
- Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 40 razy
- Pomógł: 2362 razy
Re: [MIX] Zadania ze starych Delt
Dlaczego? Przecież przejścia nie muszą być równoważne, wystarczają implikacje.
23 (nieelementarnie):
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Re: [MIX] Zadania ze starych Delt
16.
Rozwiązanie zerowe zauważyłem od razu jednak to czy ono jest jedyne próbowałem wykazać bawiąc się wyznacznikami
Po napisaniu programiku w C# i wypisaniu kilku początkowych wyznaczników
postawiłem hipotezę że spełniają one następujące równanie rekurencyjne
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{4}=-5 \\ a_{5}=11\\a_{6}=-16\\a_{7}=29\\a_{n}=-a_{n-1}+2a_{n-2}+a_{n-3}-a_{n-4} \qquad n \ge 8 \end{cases} }\)
Przydałoby się jeszcze pokazać prawdziwość mojej hipotezy
Jednak odgadłem tę rekurencję na podstawie wyznaczników dla kilku początkowych n
a nie bawiąc się rozwinięciem Laplace czy własnościami wyznaczników
Miałem taki pomysł aby pokazać że dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\)
ten ciąg nie będzie miał zerowych wyrazów
Ukryta treść:
Po napisaniu programiku w C# i wypisaniu kilku początkowych wyznaczników
postawiłem hipotezę że spełniają one następujące równanie rekurencyjne
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{4}=-5 \\ a_{5}=11\\a_{6}=-16\\a_{7}=29\\a_{n}=-a_{n-1}+2a_{n-2}+a_{n-3}-a_{n-4} \qquad n \ge 8 \end{cases} }\)
Przydałoby się jeszcze pokazać prawdziwość mojej hipotezy
Jednak odgadłem tę rekurencję na podstawie wyznaczników dla kilku początkowych n
a nie bawiąc się rozwinięciem Laplace czy własnościami wyznaczników
Miałem taki pomysł aby pokazać że dla \(\displaystyle{ n \ge 3}\)
ten ciąg nie będzie miał zerowych wyrazów
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11413
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3155 razy
- Pomógł: 748 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 22211
- Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 38 razy
- Pomógł: 3755 razy