[MIX] Zadania z setką

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11264
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3141 razy
Pomógł: 747 razy

[MIX] Zadania z setką

Post autor: mol_ksiazkowy »

1. rozwiązane przez Kartezjusza
Udowodnić, że jeżeli prostokąt się zawiera w \(\displaystyle{ 100}\) kołach z \(\displaystyle{ r=2}\), to i także
w 400 kołach z \(\displaystyle{ r=1}\). Czy to samo twierdzenie będzie też dla trójkąta ?
2. rozwiązane przez Msciwoja
Sto liczb wśród których są zarówno dodatnie jak i ujemne wypisano w jednym wierszu. Podkreślamy najpierw wszystkie liczby dodatnie, później te, których suma z liczbą następną jest dodatnia i te, których suma z 2 -ma następnymi liczbami jest dodatnia. Czy może suma wszystkich podkreślonych liczb być ujemna bądź równa zero ?
Musztari
3. rozwiązane przez Qnia
Na okręgu wypisano 101 liczb naturalnych, których suma jest równa 300. Wykazać, że suma pewnej ilości kolejnych z tych liczb wynosi 200.
A co jeśli w tym zadaniu będzie 100 liczb...?
Kwant
4*. \(\displaystyle{ M}\) jest zbiorem 21 punktów na okręgu. Udowodnić, że wśród wszystkich łuków o końcach w zbiorze \(\displaystyle{ M}\) istnieje co najmniej 100 takich, że kąty środkowe na nich oparte nie są większe niż \(\displaystyle{ 120^{o}}\).
Musztari
5**. Udowodnić, ze w 100 pól tabeli \(\displaystyle{ 10 \times 10}\) nie da się wstawić 10 zer, 10 jedynek, ...., 10 dziewiątek tak, aby w dowolnym wierszu i kolumnie były co najwyżej trzy różne cyfry.
Musztari
6. rozwiązane przez Zahiona i klaustrofoba
Czy równanie \(\displaystyle{ 3x^2 - 100y^2= 1}\) ma rozwiązanie w \(\displaystyle{ N}\) ?
7. rozwiązane przez Zahiona
Jaki jest największy wyraz ciągu \(\displaystyle{ a_n =\frac{\sqrt{n}}{100+ n}}\) ?
8. rozwiązane przez yorgina
Niech \(\displaystyle{ n = pq = 188 686 013}\) gdzie \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) to liczby pierwsze oraz \(\displaystyle{ |\frac{p}{q} - 3| <\frac{1}{100}}\). Wyznaczyć \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\).
9. rozwiązane przez yorgina
Podać uogólnienie rozkładu (dla \(\displaystyle{ 10^{-n}}\)):
\(\displaystyle{ \frac{1}{100}= \frac{1}{101}+ \frac{1}{20100}+ \frac{1}{20301}}\)
gdy \(\displaystyle{ n \in N}\)
10. rozwiązane przez klaustrofoba
Na przyjęciu było 100 osób. Wśród każdej czwórki osób jest taka, która zna trzy pozostałe. Wykazać, że istnieje 97 osób (bądź więcej) znających wszystkie osoby z tego przyjęcia.
Uwagi: Jeśli osoba \(\displaystyle{ A}\) zna \(\displaystyle{ B}\), to \(\displaystyle{ B}\) zna \(\displaystyle{ A}\)

11. rozwiązane przez Qnia
Ciąg \(\displaystyle{ 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, ....}\) to taki, w którym \(\displaystyle{ k}\) jest \(\displaystyle{ a_k}\) razy dla \(\displaystyle{ k \in N}\). Ile to jest \(\displaystyle{ a_{100}}\) ?
12. rozwiązane przez Zahiona
Wykazać, że \(\displaystyle{ N=11^{100}-1}\) jest podzielne przez \(\displaystyle{ 6000}\). Jaka jest ostatnia niezerowa cyfra tej liczby ?
13. rozwiązane przez Qnia
Czy szachownicę 100 polową \(\displaystyle{ 10 \times 10}\) można pokryć prostokątami \(\displaystyle{ 4 \times 1}\) o rozłącznych wnętrzach ?
14. 100 zawodników rozgrywa turniej szachowy systemem każdy z każdym. Po 32 rundach turniej został przerwany. Wykazać, że co najmniej 4 pary graczy uzyskały ten sam wynik.
15. rozwiązane przez Kartezjusza
Ile dzielników nieparzystych ma liczba \(\displaystyle{ 100!}\) ?
16. Czy w zapisie dziesiętnym liczby \(\displaystyle{ 3^{-100}}\) jest ciąg cyfr \(\displaystyle{ 123456789}\) ? Uzasadnić
17. rozwiązane przez Qnia
Ze zbioru \(\displaystyle{ \{ 1, ..., 100 \}}\) wybrano możliwie najliczniejszy podzbiór \(\displaystyle{ S}\) taki, że jeśli \(\displaystyle{ a, b \in S}\) oraz \(\displaystyle{ a \neq b}\) to \(\displaystyle{ a+b}\) nie dzieli się przez \(\displaystyle{ a - b}\). Ile elementów ma taki podzbiór ?
GMiL
18. rozwiązane przez Qnia
Znaleźć wszystkie postępy arytmetyczne liczb pierwszych o różnicy 100, mające co najmniej trzy elementy.
19. rozwiązane przez klaustrofoba i Zahiona
Wykazać, że
\(\displaystyle{ 0, 66 < \sum_{j=1}^{100} \frac{1}{100+j} < \frac{3}{4}}\)
20. Wśród 100 monet 4 są fałszywe. Wszystkie niefałszywe monety ważą tyle samo. Fałszywe monety tez ważą tyle samo. Fałszywa moneta jest lżejsza od niefałszywej. Jak znaleźć przynajmniej jedna niefałszywą monetę poprzez dwa ważenia na wadze szalkowej ?

21. Czy istnieją \(\displaystyle{ a, b \in R}\) takie, że równanie \(\displaystyle{ x^{100}+ax+b=0}\) ma więcej niż dwa rozwiązania \(\displaystyle{ R}\) ? Uzasadnić
22. Na płaszczyźnie jest 100 punktów, z których żadne trzy nie są współliniowe. Rozpatruje się wszystkie trójkąty o wierzchołkach w tych punktach. Udowodnić, iż wśród nich jest co najwyżej 70% trójkątów ostrokątnych
23. rozwiązane przez Qnia
Czy istnieje trójkąt o polu 100 i o wszystkich wysokościach mniejszych od 1 ? Uzasadnić.
24. rozwiązane przez Qnia
Niech \(\displaystyle{ r}\) będzie takie, że: \(\displaystyle{ \lfloor r+ \frac{19}{100} \rfloor +....+ \lfloor r+ \frac{91}{100} \rfloor = 546}\). Obliczyć \(\displaystyle{ \lfloor 100r \rfloor}\)
104 ntp, Feng
25. rozwiązane przez yorgina
Niech \(\displaystyle{ f_{0}(x)= \frac{1}{1-x}}\) dla \(\displaystyle{ x \neq 0}\) oraz \(\displaystyle{ f_{n}(x) = f_{0}(f_{n-1}(x))}\) dla \(\displaystyle{ n \geq 1}\). Obliczyć \(\displaystyle{ f_{100}(100)}\)
26. rozwiązane przez fon_nojmana
Gra „Setka” Kto ma strategię wygrywająca w tej grze ? I jaką ?
Uwagi: W tej grze gracze podają na przemian coraz to większe (jednak zawsze po \(\displaystyle{ n}\) mniej niż \(\displaystyle{ n+11}\)) liczby naturalne. Ten kto zaczyna podaje \(\displaystyle{ 1}\). Wygrywa ten kto pierwszy poda liczbę \(\displaystyle{ 100}\).
27. rozwiązane przez klaustrofoba
Wyznaczyć najmniejszy dzielnik pierwszy \(\displaystyle{ p}\) liczby \(\displaystyle{ 10^{100}+ 1}\)
28. rozwiązane przez klaustrofoba
Klub 44M, zadanie 100; Dwa koła współśrodkowe podzielono na 100 równych sektorów (każde). Na każdym z kół pewne 51 sektorów pomalowano na czerwono, a pozostałe 49 sektorów na niebiesko. Udowodnić, że można tak obrócić jedno koło względem drugiego, żeby co najmniej 52 sektory jednego koła nałożyły się na sektory drugiego o tym samym kolorze (tj. czerwone na czerwone, niebieskie na niebieskie).
29. rozwiązane przez fon_nojmana
Uporządkować (od najmniejszej do największej) liczby:
\(\displaystyle{ 2^{100}, 100!!, 100!, !100, 100^{50}}\)
30. rozwiązane przez Qnia
Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{24} {100 \choose 4j+1} = 2^{98}}\)
31. Dowieść, że w rozwinięciu \(\displaystyle{ (1+\sqrt[3]{2}+ \sqrt[3]{4})^{1998^{1998}}}\) setna cyfra po przecinku jest taka sama jak dwusetna.
zawody- Zwardoń
32. rozwiązane przez Zahiona
Rozwiązać układ równań (w liczbach naturalnych)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z = 100\\2x+ 5y+ \frac{z}{10}=100\end{cases}}\)
33. Zbiór \(\displaystyle{ A \subset R}\) ma tę własność, że jeśli \(\displaystyle{ x \in A}\) to \(\displaystyle{ 2x^2-1 \in A}\). Czy zbiór \(\displaystyle{ A}\) może mieć 100 elementów ?
34. Oszacowanie pola; Niech \(\displaystyle{ A}\) będzie zbiorem zawartym w kwadracie jednostkowym \(\displaystyle{ K}\), takim ze jeśli \(\displaystyle{ x, y \in A}\) to odległość miedzy punktami \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) jest różna od \(\displaystyle{ \frac{1}{100}}\). Wykazać, że \(\displaystyle{ S(A)< 0,341}\)
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2014, o 10:37 przez mol_ksiazkowy, łącznie zmieniany 27 razy.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

[MIX] Zadania z setką

Post autor: yorgin »

8:    
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

[MIX] Zadania z setką

Post autor: »

21:    
Q.
Awatar użytkownika
yorgin
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 12762
Rejestracja: 14 paź 2006, o 12:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 3440 razy

[MIX] Zadania z setką

Post autor: yorgin »

25:    
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

[MIX] Zadania z setką

Post autor: Zahion »

7:    
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

[MIX] Zadania z setką

Post autor: »

30:    
Q.
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

[MIX] Zadania z setką

Post autor: klaustrofob »

19 niestety, trochę na pałkę:
Ukryta treść:    
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

[MIX] Zadania z setką

Post autor: »

23:    
Q.
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

[MIX] Zadania z setką

Post autor: Zahion »

19:    
6:    
Ostatnio zmieniony 6 maja 2014, o 14:14 przez Zahion, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

[MIX] Zadania z setką

Post autor: klaustrofob »

6:
Ukryta treść:    
Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 504 razy

[MIX] Zadania z setką

Post autor: Zahion »

12:    
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

[MIX] Zadania z setką

Post autor: »

24:    
Q.
Awatar użytkownika
fon_nojman
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1599
Rejestracja: 13 cze 2009, o 22:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 68 razy
Pomógł: 255 razy

[MIX] Zadania z setką

Post autor: fon_nojman »

29:    
Ostatnio zmieniony 7 maja 2014, o 00:08 przez fon_nojman, łącznie zmieniany 1 raz.
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

[MIX] Zadania z setką

Post autor: »

18:    
Q.
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

[MIX] Zadania z setką

Post autor: Kartezjusz »

15:    
Ostatnio zmieniony 7 maja 2014, o 14:04 przez , łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Podawaj numer zadania które rozwiązujesz - najlepiej używając konwencji przyjętej przez wszystkich.
ODPOWIEDZ