Matematyka.pl

1. Oblicz wartość wyrażenia

\(\displaystyle{ (...(((2\star 3)\star 4)\star 5)\star...) \star 1995,}\)
gdzie \(\displaystyle{ x\star y = \frac{x+y}{1+xy} }\) dla dowolnych \(\displaystyle{ x, y }\) dodatnich.

2. Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest określony następująco:

\(\displaystyle{ a_0=1 \ \ a_1=3,}\)
\(\displaystyle{ a_{n+2}= \begin{cases} a_{n+1}+9a_n \ \ ; \ 2| n \\ 9a_{n+1}+5a_n \ \ ; \ 2 \nmid n. \end{cases} }\)
Udowodnij, że:
(a) liczba \(\displaystyle{ \sum_{k=1995}^{2000} a^2_k}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 20,}\)

(b) nie jest kwadratem liczby naturalnej dla każdego \(\displaystyle{ n.}\)

3. Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x+1}, }\) gdzie \(\displaystyle{ x>0.}\) Dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) przyjmujemy

\(\displaystyle{ g_n=x+f(x)+f(f(x))+ ... +\underbrace{f(f(...f}_{n}(x)))}\)

Udowodnij, że:
(a) funkcja \(\displaystyle{ g_n}\) jest ściśle rosnąca, tzn. \(\displaystyle{ g_n(x)>g_n(y)}\), jeśli \(\displaystyle{ x>y>0,}\)

(b) \(\displaystyle{ g_n(1)= \frac{F_1}{F_2} + \frac{F_3}{F_3} +...+ \frac{F_{n+1}}{F_{n+2}}, }\) gdzie \(\displaystyle{ F_1=F_2=1}\) oraz \(\displaystyle{ F_{n+2}=F_{n+1}+F_n }\) dla \(\displaystyle{ n\geq 1}\).

4. Niech \(k\) i \(n\) będą takimi liczbami całkowitymu, że \(1\geq k \geq n\). Udowodnij, że jeżeli liczby rzeczywiste \(a_1,a_2,...,a_k\) spełniają układ równań

\(\displaystyle{ \begin{cases} a_1+a_2+...+a_k \ = \ n \\ a_1^2+a_2^2+ ...+ a_k^2 \ = \ n \\ ... \\ a_1^k+a_2^k+...+a_k^k \ = \ n,\end{cases} }\)
to dla każdego rzeczywistego \(x\) prawdziwa jest równość
\(\displaystyle{
(x+a_1)(x+a_2)...(x+a_k)=x^k+ {n \choose 1} x^{k-1} + {n \choose 2} x^{k-2}+...+ {n \choose k}. }\)

5. Rozwiąż układ równań
\begin{cases} x+\log(x+\sqrt{x^2+1} \ = \ y \\ y+\log(y+\sqrt{y^2+1} \ = \ z \\ z+\log(z+\sqrt{z^2+1} \ = \ x. \end{cases}

6. Dana jest liczba rzeczywista \(\alpha\). Wyznacz wszystkie funckje \(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_+}\) spełniające dla wszelkich \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}_+}\) równanie
\(\displaystyle{ \alpha \cdot x^2 \cdot f \biggl( \frac{1}{x}\biggr)+f(x)= \frac{x}{x+1}. }\)

Zad 2

Można wyliczyć łatwo, że:

\(\displaystyle{ a_{0}=1, a_{1}=3, a_{2}=12, a_{3}=3,a_{4}=11,a_{5}=14,a_{6}=13..., a_{26}=12, a_{27}=3, a_{28}=11, a_{29}=14, a_{30}=13,... \mod 20}\)

W związku z tym:

\(\displaystyle{ a_{1995}=a_{3}=3}\)

\(\displaystyle{ a_{1996}=a_{4}=11}\)

\(\displaystyle{ a_{1997}=a_{5}=14}\)

\(\displaystyle{ a_{1998}=a_{6}=13}\)

\(\displaystyle{ a_{1999}=a_{7}=7}\)

\(\displaystyle{ a_{200}=a_{8}=4}\)

\(\displaystyle{ 3^2+11^2+14^2+13^2+7^2+4^2=9+1+16+9+9+16=60=0 \mod 20}\)

\(\displaystyle{ 60 \neq 0 \mod 25}\)

Wiec liczba nie może być kwadratem...


Co do 4 zapiszmy oznaczenia pewne:

\(\displaystyle{ p_{r}=a_{1}^r+a_{2}^r+...+a_{k}^r=n, r \ge 1 ,p_{0}=1}\)

\(\displaystyle{ e_{0}=1}\)

\(\displaystyle{ e_{1}=a_{1}+a_{2}+...+a_{k}}\)

\(\displaystyle{ e_{2}= \sum_{1 \le i<j \le k}^{} a_{i}a_{j} }\)

\(\displaystyle{ e_{3}= \sum_{1 \le i<j<l \le k}^{} a_{i}a_{j}a_{l} }\)

...........................................................................

\(\displaystyle{ e_{k}=a_{1}a_{2} \cdot ....... \cdot a_{k}}\)

Jak widać są to wielomiany symetryczne...

Zapodałem to bo poniższy wielomian po wymnożeniu będzie tak właśnie wyglądał, czyli:

\(\displaystyle{ x^k+e_{1}x^{k-1}+e_{2}x^{k-2}+...+e_{k}=0}\)

Jest jeszcze taki ładny wzorek i go zacytuję:

\(\displaystyle{ se_{s}= \sum_{i=1}^{s} (-1)^{i-1}e_{s-i}p_{i}}\)

Z warunków zadania wiadomo, że:

\(\displaystyle{ p_{i}=n}\)

Więc wzorek się uprości:

\(\displaystyle{ se_{s}= n \cdot \sum_{i=1}^{s} (-1)^{i-1}e_{s-i}}\)

Policzmy teraz kilka:

\(\displaystyle{ e_{1}=n= {n \choose 1} }\)

\(\displaystyle{ 2e_{2}=n(e_{1}-e_{0})=n^2-n}\)

\(\displaystyle{ e_{2}= {n \choose 2} }\)

\(\displaystyle{ e_{3}= {n \choose 2} \frac{n-2}{3} = {n \choose 3} }\)

Można zauważyć, że:

\(\displaystyle{ se_{s}=e_{s-1}\left[ n-(s-1)\right] }\)

Więc:

\(\displaystyle{ e_{s}=e_{s-1} \frac{\left[ n-(s-1)\right]}{s} = {n \choose s-1} \frac{\left[ n-(s-1)\right]}{s}= {n \choose s} }\)

Więc mamy:

\(\displaystyle{ e_{s}= {n \choose s} }\)

Co daje tezę zadania...

Korzystałem tu też ze wzoru:

\(\displaystyle{ {n \choose k+1} = {n \choose k} \cdot \frac{n-k}{k+1} }\)

Janusz Tracz pisze: ↑8 cze 2023, o 13:32

1 obserwacja:    

Działanie \(\displaystyle{ \star}\) jest łącznie i przemienne. Czyli nawiasy i kolejność nie odgrywają roli w tym napisie.

To jaka będzie odpowiedź do tego?

Brzydki wynik nic z przytupem...

Co do trzeciego i szóstego zadania proszę trochę bardziej rozpisać.

Trzecie masz praktycznie rozwiązane masz podaną gotową funkcję którą umiesz chyba zbadać...

Dodano po 1 minucie 59 sekundach:
W szóstym podstawienie:

\(\displaystyle{ x:= \frac{1}{x} }\)

Powinno rozwiązać sprawę...

Dodano po 2 godzinach 36 minutach 34 sekundach:
W 6 po podstawieniu:

\(\displaystyle{ x:= \frac{1}{x} }\)

Masz układ równań:

\(\displaystyle{ \alpha x^2f\left( \frac{1}{x} \right) +f(x)= \frac{x}{x+1} }\)

\(\displaystyle{ x^2f\left( \frac{1}{x} \right)+\alpha f(x)= \frac{x^2}{x+1} }\)

Spróbuj go rozwiązać...

Janusz Tracz to napisał cztery dni temu

Gość twierdzi że nie napisał...

arek1357 pisze: ↑12 cze 2023, o 17:23 Gość twierdzi że nie napisał...

Nic takiego nie twierdził, czytaj uważnie...

JK

Twierdził na pw w sposób niejawny

Janusz Tracz pisze: ↑8 cze 2023, o 13:32 Wstawiając \(\displaystyle{ 1/x}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\) otrzymamy układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ f(1/x)}\).

Uważasz, że to nie jest to właśnie?

Moim zdaniem w wypowiedziach a4karo, JK oraz arek1357 nie ma sprzeczności.

a4karo twierdzisz, że to co napisał arek1357 to to samo co napisałem ja. I masz rację, to jest dokładnie to samo. Ale arek1357 nie twierdzi inaczej. Mimo, że dla nas (tu zebranych) jest to tym samym to Zefir_a prosił o rozpisanie i to rozpisanie uzyskał od areka1357. arek1357 po prostu zmaterializował zdanie

Janusz Tracz pisze: ↑8 cze 2023, o 13:32 Wstawiając \(\displaystyle{ 1/x}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\) otrzymamy układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ f(1/x)}\).

I pokazał jak się je w znaczkach matematycznych zapisuje. Nawet tu

arek1357 pisze: ↑12 cze 2023, o 17:23 Gość twierdzi że nie napisał...

Jan Kraszewski pisze: ↑12 cze 2023, o 19:15 Nic takiego nie twierdził, czytaj uważnie...
JK

Nie widzę sprzeczności. Fakt, dosłownie nigdzie nie padło tu stwardzenie Zefir_a, że nie napisałem tego układu wiec JK ma rację. Ale skoro prosił o wyjaśnienie tego zadania to niejawnie twierdził, że moje rozwiązanie nie wystarczy i arek1357 mu to wyjaśnienie dał. Wyjaśnieniem był akt zamiany zdania

Janusz Tracz pisze: ↑8 cze 2023, o 13:32 Wstawiając \(\displaystyle{ 1/x}\) zamiast \(\displaystyle{ x}\) otrzymamy układ równań z niewiadomymi \(\displaystyle{ f(x)}\) oraz \(\displaystyle{ f(1/x)}\).

na

arek1357 pisze: ↑12 cze 2023, o 12:02 Masz układ równań:

\(\displaystyle{ \alpha x^2f\left( \frac{1}{x} \right) +f(x)= \frac{x}{x+1} }\)

\(\displaystyle{ x^2f\left( \frac{1}{x} \right)+\alpha f(x)= \frac{x^2}{x+1} }\)

I jak już mówiłem dla nas tu zebranych ten akt zamiany języka pisanego na matematyczne znaczki jest automatyczny dla Zefir_a najwyraźniej nie.

Czy to wystarczy
\(\displaystyle{ \begin{cases}
\alpha x^2f\left( \frac{1}{x} \right) +f(x)= \frac{x}{x+1}
\\ \alpha x^2f\left( \frac{1}{x} \right)+\alpha^2 f(x)= \frac{\alpha x^2}{x+1} \end{cases} }\)

otrzymam coś takiego:
\(\displaystyle{ f(x)-\alpha f(x)= \frac{x-\alpha x^2}{x+1} }\) co jest równoważne, że- \(\displaystyle{ f(x)= \frac{x(\alpha x -1)}{x+1}\cdot \frac{1}{\alpha -1} }\). A to nie jest istotne?

\(\displaystyle{ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_+}\) spełniające dla wszelkich \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}_+}\) równanie