Matematyka.pl

1. rozwiązane przez yorgina
Niech \(\displaystyle{ \left( X,* \right)}\) będzie strukturą:
\(\displaystyle{ \left( a*b \right) *b=a}\) i \(\displaystyle{ a* \left( a*b \right) =b}\) dla \(\displaystyle{ a, b \in X}\).
Dowieść, że \(\displaystyle{ a*b=b*a}\) dla \(\displaystyle{ a, b \in X}\). Na jakich zbiorach skończonych \(\displaystyle{ X}\) taka struktura istnieje ?

2. rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Punkt \(\displaystyle{ P}\) leży wewnątrz \(\displaystyle{ 2n}\)-kąta wypukłego \(\displaystyle{ A_1....A_{2n}}\) i nie jest na żadnej z jego przekątnych. Proste \(\displaystyle{ A_1P,…, A_{2n}P}\) przecinają obwód wielokąta po raz drugi w punktach \(\displaystyle{ B_1,…, B_{2n}}\). Wykazać, że na jakimś boku wielokąta nie leży żaden spośród \(\displaystyle{ 2n}\) punktów punktów \(\displaystyle{ B_j}\).

3. Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ 2\sqrt{3}\sin \left( 5x \right) - \sqrt{3}\sin \left( x \right) = \cos \left( 24x \right) \cos \left( x \right) + 2\cos \left( 5x \right) -6}\).

4. rozwiązane przez Marcin7Cd
Dowieść, że dla nieskończenie wielu \(\displaystyle{ n \in \NN}\) liczba \(\displaystyle{ n!}\) nie jest podzielna przez \(\displaystyle{ n^2+1}\).

5. Dla każdej trójki kolejnych wierzchołków wielokąta wypukłego narysowano okrąg do którego te punkty należą. Udowodnić, że ten spośród tak otrzymanych okręgów, którego promień jest największy zawiera cały wielokąt.

6. rozwiązane przez Pinionrzek
W trójkącie ostrokątnym \(\displaystyle{ ABC}\) punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem \(\displaystyle{ AB}\) zaś \(\displaystyle{ D}\) i \(\displaystyle{ E}\) są spodkami wysokości opuszczonych z \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Prosta do której należy \(\displaystyle{ M}\) i prostopadła do \(\displaystyle{ DE}\) przecina prostą \(\displaystyle{ AD}\) w punkcie \(\displaystyle{ K}\). Wykazać że punkty \(\displaystyle{ A, E, K, M}\) są na jednym okręgu.

7. rozwiązane przez yorgina
Przedstawić pięć istotnie różnych dowodów, iż funkcja \(\displaystyle{ f \left( x \right) = \cos \left( x \right)}\) nie jest wielomianem.

8. rozwiązane przez Qnia
Dowieść, że jeśli \(\displaystyle{ f: \ZZ \to \ZZ}\) jest takie, że \(\displaystyle{ f \left( f \left( n \right) \right) = f \left( f \left( n + 2 \right) +2 \right) = n}\) dla \(\displaystyle{ n \in \ZZ}\) oraz \(\displaystyle{ f \left( 0 \right) =1}\) to \(\displaystyle{ f \left( n \right) =1-n}\) dla \(\displaystyle{ n \in \ZZ.}\)

9. rozwiązane przez Marcin7Cd
Udowodnić, że w kole domkniętym o promieniu \(\displaystyle{ 1}\), którego każdy punkt pomalowano na jeden z trzech kolorów, istnieją dwa takie punkty jednokolorowe i których odległość jest równa \(\displaystyle{ 1}\).

10. rozwiązane przez Marcin7Cd
Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ p>3}\) jest liczbą pierwszą, to co najmniej jedna z liczb: \(\displaystyle{ \frac{3}{p^2}, \frac{4}{p^2}...., \frac{p-2}{p^2}}\) jest w formie \(\displaystyle{ \frac{1}{x} + \frac{1}{y}}\) gdzie \(\displaystyle{ x, y \in \NN}\).

11. rozwiązane przez yorgina
Rozwiązać układ równań (w zbiorze \(\displaystyle{ \ZZ}\))
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y^2+ z^3 = m\\ \frac{1}{x}+ \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{z^3}=\frac{1}{m}\\xy^2z^3=m^2 \end{cases}}\)
gdzie \(\displaystyle{ m \in \ZZ}\) jest ustalone.

12. rozwiązane przez Marcin7Cd
Wykazać że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych \(\displaystyle{ k}\) takich, że \(\displaystyle{ 3 \cdot 4^k -1}\) oraz \(\displaystyle{ 3 \cdot 4^k + 1}\) są obie złożone.
M

13. rozwiązane przez mola_ksiazkowego
Dany jest zbiór ciągów \(\displaystyle{ n}\)-wyrazowych, o wyrazach \(\displaystyle{ -1}\) lub \(\displaystyle{ 0}\) lub \(\displaystyle{ 1}\). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowy wybrany ciąg ma co najwyżej jeden wyraz równy \(\displaystyle{ 0}\) i suma wszystkich jego wyrazów równa jest \(\displaystyle{ 0}\).

14. W \(\displaystyle{ n}\)-kącie foremnym każdy bok i każdą przekątną pomalować jakimś kolorem tak aby żadne dwa spośród tych odcinków mających punkt wspólny nie były pomalowane tym samym kolorem. Ile co najmniej kolorów jest do tego potrzebnych ?

15. rozwiązane przez Marcin7Cd
Jaka jest największa liczba naturalna \(\displaystyle{ n}\) taka, że na płaszczyźnie istnieje \(\displaystyle{ n}\) punktów, spośród których każde trzy są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ?
M

16. rozwiązane przez Qnia
Rozwiązać równanie \(\displaystyle{ \log _{x^2} \ \sqrt{5} + 3\log _{x} \ \frac{1}{5} = \frac{11}{8}}\).

17. Ile jest punktów kratowych w obszarze
\(\displaystyle{ \begin{cases}2x^2+ 2y^2+ 24x - 28y +167 <0 \\ x+2y < \frac{15}{2}\end{cases}}\)
?

18. rozwiązane przez Marcin7Cd
Czy istnieje figura wypukła \(\displaystyle{ F}\) którą nie można pokryć półkola o promieniu \(\displaystyle{ 1}\), ale dwoma egzemplarzami \(\displaystyle{ F}\) można pokryć koło o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) ?

19. rozwiązane przez Zahiona
Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ a<b}\) to \(\displaystyle{ a^3 - 3a \leq b^3 - 3b +4}\).

20. Wskazać przykład \(\displaystyle{ f: l \to l}\) , gdzie \(\displaystyle{ l}\) jest prostą , nie będącego izometrią, i taką że odległość punktów \(\displaystyle{ f \left( X \right)}\) i \(\displaystyle{ f \left( Y \right)}\) równa jest 1, dla każdych punktów \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) których odległość jest równa \(\displaystyle{ 1}\).

21. Rozwiązać układ równań (w \(\displaystyle{ \RR}\))
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+y+z=6 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y}+ \frac{1}{z}=2 - \frac{4}{xyz}. \end{cases}}\)

22. rozwiązane przez yorgina
Wyznaczyć \(\displaystyle{ M>0}\) możliwie jak najmniejsze aby:
\(\displaystyle{ |\sqrt[7]{x^6+9} - \sqrt[7]{y^6+9}| \leq M|x-y|}\) dla \(\displaystyle{ x, y \in \RR.}\)

23. Niech \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) będą różnymi liczbami pierwszymi; rozwiązać układ:
\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{z+p}{x} + \frac{z-p}{y} =q\\ \frac{z+p}{y} - \frac{z-p}{x} =q\end{cases}}\)
B i H

24. rozwiązane przez yorgina
Jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą naturalną to niech \(\displaystyle{ x=x_n >0}\) będzie takie, że \(\displaystyle{ x^n + x^{n+1}=1}\). Obliczyć o ile istnieje \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} x_n}\).

25. rozwiązane przez Zahiona
Znaleźć takie trójki dodatnich liczb wymiernych \(\displaystyle{ \left( x, y, z \right)}\), dla których wszystkie liczby:
\(\displaystyle{ x + y + z}\) oraz \(\displaystyle{ \frac{1}{x} +\frac{1}{y} + \frac{1}{z}}\) oraz \(\displaystyle{ xyz}\) są naturalne.

26. Wyznaczyć wszystkie \(\displaystyle{ f: [0, +\infty ) \to [0, +\infty )}\) :
\(\displaystyle{ 4f \left( x \right) \geq 3x}\) oraz \(\displaystyle{ f \left( 4f \left( x \right) - 3x \right) = x}\) dla \(\displaystyle{ x \geq 0}\).

27. rozwiązane przez Marcin7Cd
Rozwiązać równanie diofantyczne \(\displaystyle{ \frac{1}{x} +\frac{2}{y} - \frac{3}{z} =1}\).

28. rozwiązane przez Pinionrzek
Na jednym z nienarożnych pól brzegowych szachownicy \(\displaystyle{ 4 \times 4}\) napisano znak \(\displaystyle{ -}\), a na pozostałych polach znak \(\displaystyle{ +}\). Jeden ruch polega na zamianie na przeciwne wszystkich znaków w rzędzie poziomym, pionowym lub ukośnym (tj. równoległym do którejś z przekątnych). Wykazać, że po dowolnej ilości ruchów na szachownicy będzie choć jeden znak \(\displaystyle{ -}\).

29. rozwiązane przez Marcin7Cd
Dziewięć różnych punktów jest we wnętrzu kwadratu o boku \(\displaystyle{ 1}\). Udowodnić, że wśród nich są trzy takie, które albo są współliniowe albo są wierzchołkami trójkąta o polu nie większym niż \(\displaystyle{ \frac{1}{8}}\).

30. rozwiązane przez Kartezjusza
W trójkącie równoramiennym koło wpisane ma promień \(\displaystyle{ 2}\), a koło styczne do ramion trójkąta i do koła wpisanego ma promień \(\displaystyle{ 1}\). Obliczyć wysokość tego trójkąta.

31*. Czworoblok to figura podzielona na cztery przystające wielokąty, tak iż część wspólna każdych dwóch z nich zawiera odcinek. Czy istnieją czworobloki wypukłe ?
J RM

W 8. jest błąd, bo wychodzi inna funkcja.

6.

4) 10)

Q.

12) 27)

8 cd

Q.

28.