Matematyka.pl

Sporo osób nie ma tej książki, na końcu której znajduje się zbiór 205 zadań. Moim zdaniem są one ciekawe, zatem z faktu, iż mam trochę czasu pozwoliłem sobie przepisać ja tutaj. Dla nie znających tej pozycji powiem, że te zadania nie zostały opatrzone rozwiązaniami. Z tego powodu wydaje mi się, że umiejący rozwiązać te zadania, mogliby się nimi podzielić, zaś nie znający zmierzyć się z nimi. Gdyby ktoś chciał umieścić takowe rozwiązanie, do czego namawiam , proszę o używania opcji hide, m.in. ze względu na osoby, które chciałby zrobić je samodzielnie. Myślę, że trochę bardziej szczegółowe rozpisane rozwiązania może się przydać osobom mniej zaawansowanym, np. "wystarczy użyć Jensena " może być trochę zbyt mało precyzyjne dla kogoś.
Preferowane są rozwiązania wykorzystujące wiedzę z książki, ale oczywiście każdy inny poprawny sposób jest równie dobry
Trochę wklepuje się takie zadania... Jak będę miał znowu trochę czasu, to powrzucam dalej. Teraz jestem jednak trochę chory, więc wrzucam, żebyście mogli już rozwiązywać, gdy ja będę się kurował.

A oto zadania:

1(rozwiązane przez XMaS11)
W kole o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) obrano \(\displaystyle{ 64}\) różne punkty. Wykaż, że \(\displaystyle{ 10}\) z nich leży w kole o promieniu \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). 2(rozwiązane przez XMaS11)
W przestrzeni danych jest \(\displaystyle{ m \cdot n +1}\) punktów. Wśród dowolnych \(\displaystyle{ m+1}\) z nich istnieją dwa odległe od siebie o \(\displaystyle{ 1}\). Wykaż, że istnieje kula o promieniu \(\displaystyle{ 1}\) zawierająca co najmniej \(\displaystyle{ n+1}\) punktów spośród danych. 3(rozwiązane przez Wasilewskiego)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots , x_n}\) zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n x_k + \sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2} \le \frac{n+\sqrt{n}}{n^2} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k} \right) \left( \sum_{k=1}^n x_k^2\right).}\)

Tu wydaje mi się, że jest błąd w książce. Napisałem wersję, która wydaje mi się bardziej prawdopodobna. Tę wersję potwierdził Pan Pawłowski.
4(rozwiązane przez Wasilewskiego )
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots , x_n}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n x_k =1}\) .Udowodnij, że

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{x_k}{\sqrt{1-x_k}} \ge \frac{\sum_{k=1}^n \sqrt{x_k}}{\sqrt{n-1}}}\) 5(rozwiązane przez Wasilewskiego )
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: R \to R}\) spełniające warunki

\(\displaystyle{ (i) \qquad \ \ f(1)=1 \\ (ii) \ \qquad f(x+y)=f(x)+f(y) \quad \text{dla wszystkich x,y} \in R \\ (iii) \qquad f(x) \cdot f\left( \frac{1}{x}\right)=1 \quad \text{dla wszystkich x} \neq 0}\)
6(rozwiązane przez Wasilewskiego )
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) określają warunki:
\(\displaystyle{ x_0=1995 \quad x_n=-\frac{1995}{n} \sum_{k=0}^{n-1} x_k \quad \text{dla} \; n \ge 1}\)
Oblicz sumę \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{1995} 2^n x_n}\) 7(rozwiązane przez taka_jedna)
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots , x_n \; (n\ge 3)}\) są parami różne i spełniają warunek:
\(\displaystyle{ x_1+\frac{1}{x_2}=x_2+\frac{1}{x_3}=\ldots = x_n+\frac{1}{x_1}}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \left| x_1 x_2 \ldots x_n \right| =1}\) 8(rozwiązane przez Sylwka )
Rozwiąż w liczbach rzeczywistych równanie
\(\displaystyle{ \sqrt{x_1}+\sqrt{x_2-1} + \sqrt{x_3-2} + \ldots + \sqrt{x_n-n+1}+\frac{n(n-3)}{4}=\frac{1}{2} \left(x_1+x_2+\ldots + x_n \right)}\) 9 (rozwiązane przez Sylwka )
Liczby naturalne \(\displaystyle{ a,b,c}\) tworzą ciąg geometryczny, \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą. Wykaż, że \(\displaystyle{ p|a^3+b^3+c^3-3abc \; \Rightarrow \; p^2|a^3+b^3+c^3-3abc}\) 10(rozwiązane przez Wasilewskiego)
Dany jest ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) taki, że \(\displaystyle{ 0 \le x_1 \le 1}\) oraz \(\displaystyle{ x_{n+1}=x_n(1-x_n)}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots}\) Udowodnić, że
\(\displaystyle{ \forall_{n \in \mathbb{N}_1} \; x_1 + x_2 \ldots + x_n \le \sqrt{n}}\) 11 ( rozwiązane przez bosa_Nike )
Liczby całkowite \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniając warunek \(\displaystyle{ (x-y)(y-z)(z-x)=x+y+z}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ 81| (x-y)^3+(y-z)^3+(z-x)^3}\)
12(rozwiązane przez binaja )
W pewnej szkole uczy się \(\displaystyle{ 1995}\) uczniów. Każdy z nich ma wśród pozostałych co najmniej \(\displaystyle{ 45}\) znajomych. Udowodnij, że zawsze znajdziemy takich czterech uczniów tej szkoły, którzy mogą usiąść przy okrągłym stole tak, by każdy siedział obok swoich znajomych.

13(rozwiązane przez Wasilewskiego )
Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ a_1,a_2, \ldots , a_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_1, b_2, \ldots , b_n}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ 1+\sum_{k=1}^n (a_k+b_k)^2 \le \frac{4}{3} \left(1+ \sum_{k=1}^n a_k^2\right) \left(1+ \sum_{k=1}^n b_k^2\right)}\) 14(rozwiązane przez Dumla)
Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) są różnymi liczbami pierwszymi, to liczba \(\displaystyle{ p^{q-1}+q^{p-1}-1}\) nie jest pierwsza. 15(rozwiązane przez Dumla i Sir George)
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: R \to R}\) monotoniczne i odwracalne oraz spełniające dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in R}\) równanie
\(\displaystyle{ f(x)+f^{-1} (x)=2x}\) 16(rozwiązane przez Wasilewskiego)
Oblicz granicę
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \: 2^n \sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots + \sqrt{2}}}}_{n-1}}}\) 17 (rozwiązane przez Wasilewskiego )
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_1, b_2, \ldots , b_n}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k b_k} \ge \frac{4n^2}{\sum_{k=1}^n (a_k+b_k)^2}}\) 18(rozwiązane przez klaustrofoba )
Rozwiąż w zbiorze liczb całkowitych układ nierówności
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x^2+2yz \le 1+ y^2 \\ 3y^2+2xz \le 1+z^2 \\ 3z^2+2xy \le 1+ x^2 \end{cases}}\) 19(rozwiązane przez Wasilewskiego )
Ciąg \(\displaystyle{ (F_n)}\) określają warunki:
\(\displaystyle{ F_0=F_1=1 \quad F_{n+1}=F_n+F_{n-1} \; \text {dla } \; n=1,2,3,\ldots \qquad}\) (ciąg Fibonacciego )
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n {n\choose k} F_{n-k} = F_{2n}}\) 20 (rozwiązane przez Dumla)
Liczby \(\displaystyle{ a_i \ge 0}\) oraz \(\displaystyle{ b_i > 0}\) \(\displaystyle{ (i=1,2,\ldots , n)}\) spełniają warunki
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} a_i=1 \quad \text{i} \quad \sum_{i=1}^n b_i =1}\)
Wykaż, że \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{b_i} \ge 1}\) 21 ( rozwiązane przez Wasilewskiego )
Udowodnij, że dla dowolnych \(\displaystyle{ \alpha _ 1, \alpha_2, \ldots , \alpha_n \in R}\)
\(\displaystyle{ \left( \sum_{k=1}^n \sin \alpha_k \right)^2 + \left( \sum_{k=1}^n \cos \alpha_k \right)^2 \le n^2}\) 22(rozwiązane przez Wasilewskiego i Dumla)
Dla danej liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\) określamy ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) następująco
\(\displaystyle{ x_1=p \quad x_{n+1}=2^{x_n}-1 \; \text{ dla } \; n=1,2,3,\ldots}\)
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \qquad 2^{x_n}-2 \equiv 0 \pmod{x_n}}\) 23(rozwiązane przez Wasilewskiego )
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c \in \mathbb{Q}}\) i jeden pierwiastek równania \(\displaystyle{ ax^3+bx+c=0}\) jest iloczynem dwóch pozostałych pierwiastków tego równania, to jest on liczbą wymierną. 24(rozwiązane przez Sylwka)
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) oznaczmy przez \(\displaystyle{ a_n}\) ostatnią cyfrę liczby \(\displaystyle{ 1+2+\ldots + n}\). Oblicz sumę \(\displaystyle{ a_1+a_2+\ldots + a_{1994}}\). 25(rozwiązane przez azonips )
Wyznacz wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ P(x)}\) stopnia \(\displaystyle{ n}\) takie, że dla każdego \(\displaystyle{ x\in R}\)
\(\displaystyle{ P(1)+P(x)+P(x^2)+\ldots + P(x^n)=(1+x+x^2+\ldots + x^n) P(x)}\) 26(rozwiązane przez Sylwka )
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) spełniona jest nierówność
\(\displaystyle{ (\sqrt{2}-1)(\sqrt[3]{6}-\sqrt{2})(\sqrt[4]{24}-\sqrt[3]{6})\ldots (\sqrt[n+1]{(n+1)!}-\sqrt[n]{n!}) < \frac{n!}{(n+1)^n}}\) 27(rozwiązane przez snm )
Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ \frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}}\) jest złożona. 28 ( rozwiązane przez binaja )
Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b \in \mathbb{N}}\) i \(\displaystyle{ b^2+ab+1|a^2+ab+1}\), to \(\displaystyle{ a=b}\) 29(rozwiązane przez taka_jedna)
Oblicz sumę
\(\displaystyle{ \sum_{j=0}^{11} \frac{x_j^3}{1-3x_j+3x_j^2} \qquad}\) ,gdzie \(\displaystyle{ x_j=\frac{j}{11}}\) dla \(\displaystyle{ j=0,1,2,\ldots , 11}\) 30(rozwiązane przez taka_jedna)
Oblicz iloczyn \(\displaystyle{ x_1 x_2 x_3 \ldots x_n}\) , jeśli wiadomo, że
\(\displaystyle{ x_1x_2+x_2=x_2x_3+x_3=\ldots = x_n x_1 + x_1 =-1}\) 31(rozwiązane przez freja)
Rozważmy ciąg Fibonacciego \(\displaystyle{ (F_n)}\)
Udowodnij, że da każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}_1}\) wielomiany
\(\displaystyle{ x^{2n+1}+F_{2n+1}x^2 - F_{2n-1}}\) i \(\displaystyle{ x^{2n+2}-F_{2n+2}x^2+F_{2n}}\) są podzielne przez \(\displaystyle{ x^2+x-1}\) 32(rozwiązane przez taka_jedna)
Wyznacz wszystkie pary funkcji \(\displaystyle{ F: R\to R}\) i \(\displaystyle{ g:R \to R}\) spełniające dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in R \setminus \{ 1 \}}\) układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} f(2x+1)+2g(2x+1)=2x \\ f ( \frac{x}{x-1} ) +g( \frac{x}{x-1} ) = x \end{cases}}\) 33 ( rozwiązane przez Wasilewskiego )
Liczby nieujemne \(\displaystyle{ x_1, x_2 ,\ldots ,x_n \; (n \ge 2)}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n x_k=1}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \sqrt{x_k(1-x_k)}\le \sqrt{n-1}}\) 34(rozwiązane przez Wasilewskiego)
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ x_1=2 \quad x_n=nx_{n-1}+1 \; \text{dla} \; n=2,3,4\ldots}\)
Udowodnij, że jeżeli każde dwa wierzchołki \(\displaystyle{ (x_n+1)}\) kąta wypukłego połączymy odcinkiem pomalowanym na jeden z \(\displaystyle{ n}\) kolorów, to otrzymamy co najmniej jeden trójkąt o wierzchołkach w wierzchołkach tego wielokąta i o bokach jednego koloru. 35(rozwiązane przez Wasilewskiego )
Niech \(\displaystyle{ d}\) będzie liczbą naturalną. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \frac{1\cdot d!}{d} + \frac{2(d+1)!}{d^2} + \ldots + \frac{n(d+n-1)!}{d^n}=\frac{(n+d)!}{d^n}-d!}\) 36(rozwiązane przez Wasilewskiego )
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) określony jest następująco:
\(\displaystyle{ x_1=3 \quad \sqrt{x_{n+1}}=2\sqrt{x_n}+\sqrt{3(1+x_n)} \quad \text{dla } \; n\ge 1}\)
Udowodnij, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi. 37(rozwiązane przez Sylwka)
Rozwiąż w liczbach dodatnich układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^5+y^5+z^5=9(x+y+z) \\ x+y+z=xyz \end{cases}}\)
38(rozwiązane przez chris139 )
Rozwiąż równanie
\(\displaystyle{ \left( 1+x+x^2 \right) \left( 1+x+x^2+\ldots + x^{10} \right) = \left( 1+x+x^2 + \ldots + x^6 \right)^2}\) 39(rozwiązane przez bosa_Nike)
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n\ge 3}\)
\(\displaystyle{ 8| \left[ \left(\sqrt[3]{n} + \sqrt[3]{n+2} \right)^3\right] +1}\) 40(rozwiązane przez Wasilewskiego )
Dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) przyjmujemy
\(\displaystyle{ S_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle{ T_n=S_1+S_2+S_3 + \ldots + S_n}\)
\(\displaystyle{ U_n=\frac{T_1}{2} + \frac{T_2}{3} + \ldots + \frac{T_n}{n+1}}\)
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ T_n=(n+1)(S_{n+1}-1) \qquad \text{oraz} \qquad U_n=(n+2)(S_{n+1}-1)-n}\) 41(rozwiązane przez klaustrofoba i Sylwka)
Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie
\(\displaystyle{ x^3+y^3=4\left( x^2y+xy^2+1\right)}\) 42(rozwiązane przez taka_jedna i Dumla)
Liczby nieujemne \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n}\) spełniają warunki
\(\displaystyle{ 1^\circ \quad a_1 \ge a_2 \ge \ldots \ge a_n}\)
\(\displaystyle{ 2^\circ \quad \sum_{k=1}^n a_k \le 1}\)
Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n \qquad \sum_{k=1}^n (2k-1)a_k^2 \le 1}\) 43(rozwiązane przez XMaS11 i Wasilewskiego)
Niech \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) będą liczbami naturalnymi, przy czym \(\displaystyle{ m\le n}\). Przyjmujemy
\(\displaystyle{ T_{m}={n\choose 0} + {n\choose 1} + \ldots + {n \choose m}}\)
Wykaż, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^n {n\choose k} T_k = 2^{2n-1}+ {2n-1 \choose n}}\) 44(rozwiązane przez freja )
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ a_0=2 \quad a_1=3 \quad a_2=6 \quad a_n=(n+4)a_{n-1}-4na_{n-2}+(4n-8)a_{n-3} \quad n\ge 3}\)
Wykaż, że \(\displaystyle{ \forall_{n \in \mathbb{N}} \; \ a_n=n!+2^n}\) 45(rozwiązane przez mola_ksiazkowego )
Liczby rzeczywiste \(\displaystyle{ x,y,z}\) są parami różne i spełniają warunek
\(\displaystyle{ (x-y)\sqrt[3]{1-z^3}+(y-z)\sqrt[3]{1-x^3}+(z-x)\sqrt[3]{1-y^3}=0}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ (1-x^3)(1-y^3)(1-z^3)=(1-xyz)^3}\) 46(rozwiązane przez Sylwka )
Rozwiąż w liczbach naturalnych równanie
\(\displaystyle{ x^4+y^4+z^4=2x^2y^2+2y^2z^2 + 2z^2 x^2 +3}\) 47(rozwiązane przez taka_jedna)
Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b,m \in \mathbb{Z}}\) i \(\displaystyle{ a^2+2mb^2}\) jest kwadratem liczby całkowitej, to \(\displaystyle{ a^2+mb^2}\) jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych. 48(rozwiązane przez bosa_Nike )
Niech \(\displaystyle{ S(n)}\) oznacza sumę cyfr liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\). Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ x_1=1995^{1995} \qquad x_{n+1}=S(x_n) \quad \text{dla} \; n=1,2,3,\ldots}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ x_{1995}}\)

49(rozwiązane przez freja i Wasilewskiego )
Ciąg \(\displaystyle{ (x_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ x_1=1, x_{n+1}=x^2_n+x_n}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots}\)
Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{1+x_i} + \prod_{i=1}^n \frac{1}{1+x_i} =1}\)
50(rozwiązane przez timon92)
Funkcja \(\displaystyle{ f: \RR_{+} \to \RR_{+}}\) spełnia dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y \in \RR_{+}}\) warunek \(\displaystyle{ f(xy) \le f(x) f(y)}\). Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in \RR_{+}}\) oraz dla każdego \(\displaystyle{ n \in \mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ f(x^n) \le f(x) \cdot \sqrt{f(x^2)} \cdot \sqrt[3]{f(x^3)} \cdot \ldots \cdot \sqrt[n]{f(x^n)}}\) 51(rozwiązane przez Sylwka)
Niech \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) będą takimi liczbami naturalnymi, że \(\displaystyle{ (A,B)=1}\) i \(\displaystyle{ \frac{A}{B}=\sum_{k=1}^{100} \frac{1}{k}}\)
Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ AB}\) nie jest podzielna przez 5. 52(rozwiązane przez JakimPL oraz Premislava)
Udowodnij, że dla każdego \(\displaystyle{ n \ge 2}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n-2} \frac{1}{k!} \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \ldots + (-1)^{n-k} \frac{1}{(n-k)!}\right)=1- \frac{1}{n!}.}\)
53(rozwiązane przez taka_jedna i mola_ksiazkowego)
Liczby \(\displaystyle{ p,q,r}\) są pierwiastkami rzeczywistymi równania \(\displaystyle{ x^3-6x^2+3x+1=0}\)
Wyznacz zbiór wartości sumy \(\displaystyle{ p^2q+q^2r+r^2p}\). 54(rozwiązane przez XMaS11)
Niech \(\displaystyle{ f}\) będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych, zaś \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) takimi różnymi liczbami całkowitymi, że \(\displaystyle{ f(a)f(b)=-(a-b)^2}\). Wykaż, że
\(\displaystyle{ f(a)+f(b)=0.}\) 55(rozwiązane przez Sylwka)
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{997} \frac{(-1)^k}{1995-k} \cdot {1995-k \choose k} = -\frac{2}{1995}.}\)

Jak zauważył luka52 wartość sumy wynosi \(\displaystyle{ -\frac{2}{1995}}\), a nie \(\displaystyle{ \frac{1}{1995},}\) w związku z czym zmieniam treść polecenia. 56(rozwiązane przez Dumla)
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \ZZ \to \ZZ}\) spełniające warunki:
\(\displaystyle{ (i) \qquad \ \ f(0)=1 \\ (ii) \ \qquad f(f(n))=n \quad \text{dla wszystkich }n \in \ZZ \\ (iii) \qquad f\left( f(n+2)+2 \right)=n \quad \text{dla wszystkich }n\in \ZZ.}\) 57 ( rozwiązane przez binaja )
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są długościami boków trójkąta, to
\(\displaystyle{ \sqrt{a^2+b^2-c^2} + \sqrt{a^2-b^2+c^2} + \sqrt{-a^2+b^2+c^2} \le a+b+c}\)
58(rozwiązane przez Wasilewskiego i Świstaka)
Niech \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n\ge 2}\) będą liczbami naturalnymi. Oblicz sumę
\(\displaystyle{ \left[ \frac{2^{n+1}+1}{2^{n-1}+1}\right] + \left[ \frac{3^{n+1}+1}{3^{n-1}+1}\right] + \ldots + \left[ \frac{k^{n+1}+1}{k^{n-1}+1}\right]}\) 59(rozwiązane przez tkrass )
Wyznacz wszystkie liczby wymierne \(\displaystyle{ r}\), dla których pierwiastki równania \(\displaystyle{ rx^2+(r+1)x+(r-1)=0}\) są całkowite. 60(rozwiązane przez Świstaka (a) i taka_jedna (b) oraz mola_ksiazkowego (b))
Liczby naturalne \(\displaystyle{ a_n}\) i \(\displaystyle{ b_n}\) spełniają równość \(\displaystyle{ a_n+b_n \sqrt{2}=\left( 1+ \sqrt{2} \right)^{2n+1}}\)
Udowodnij, że liczby \(\displaystyle{ a_n, b_n}\) są nieparzyste oraz spełniają równość
\(\displaystyle{ b_n^2=\left(\frac{a_n+(-1)^n}{2} \right)^2 + \left(\frac{a_n-(-1)^n}{2} \right)^2.}\)
61(rozwiązane przez Wasilewskiego )
Liczby nieujemne \(\displaystyle{ x_1, x_2, \ldots , x_n}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ x_1+x_2+\ldots x_n=n}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{x_i}{1+x_i^2} \le \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+x_i}}\)

62(rozwiązane przez Sylwka )
Wyznacz wszystkie trójki \(\displaystyle{ (x,y,z)}\) liczb rzeczywistych większych od \(\displaystyle{ 1}\) spełniające równanie
\(\displaystyle{ x+y+z+\frac{3}{x-1}+\frac{3}{y-1}+\frac{3}{z-1} = 2\left( \sqrt{x+2} + \sqrt{y+2} + \sqrt{z+2} \right)}\) 63(rozwiązane przez taka_jedna )
Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) są dodatnie oraz \(\displaystyle{ a+b=c+d}\) i \(\displaystyle{ a^2+b^2> c^2+d^2}\), to \(\displaystyle{ a^5+b^5>c^5+d^5}\) 64(rozwiązane przez taka_jedna)
Wykaż, że dla dowolnych liczb naturalnych nieparzystych \(\displaystyle{ m,n,p}\)
\(\displaystyle{ n| 1^m+2^m+3^m+\ldots + \left((n-1)^p \right)^m.}\) 65(rozwiązane przez Wasilewskiego i andkoma )
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \RR \setminus \{ 0 \} \to \RR}\) spełniające następujące warunki
\(\displaystyle{ 1^\circ \quad f(x)=xf(\frac{1}{x}) \qquad \qquad \text{ dla wszystkich }x \neq 0}\)
\(\displaystyle{ 2^\circ \quad f(x)+f(y)=1+f(x+y) \quad \text{dla wszystkich }x \neq 0 \: y\neq 0 \; \text{takich, że } x+y\neq 0}\) 66(rozwiązane przez Wasilewskiego )
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n}\) oraz \(\displaystyle{ b_1, b_2, \ldots , b_n}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n a_k=\sum_{k=1}^n b_k}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{a_k^2}{a_k+b_k} \ge \frac{1}{2} \sum_{k=1}^n a_k.}\)
67
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{2n} \frac{2n-k}{k+1} (-1)^{k+1} = \sum_{k=1}^{n} \frac{2k-1}{n+k}.}\)

Poprawiono na wersję zgodną z książką (wcześniej na forum w liczniku po prawej było \(\displaystyle{ 2n-1}\)).

68(rozwiązane przez freja)
Ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ a_1=2 \quad a_2=3 \\ \left( a_{n-1}^2 + a_n^2\right) \left( a_n^2+a_{n+1}^2 \right) = \left( a_{n-1} a_n + a_n a_{n+1} \right)^2 \quad \text{ dla } n=2,3,\ldots}\)
Wyznacz \(\displaystyle{ a_n.}\) 69(rozwiązane przez tkrass)
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ a,b}\) spełniają dla pewnego \(\displaystyle{ x\in \RR}\) warunek
\(\displaystyle{ \frac{sin^4x}{a}+ \frac{cos^4 x}{b} = \frac{1}{a+b}}\)
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\)
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2n} x}{a^{n-1}} + \frac{cos^{2n} x}{b^{n-1}} = \frac{1}{(a+b)^{n-1}}}\) 70(rozwiązane przez freja)
Udowodnij, że jeżeli funkcje \(\displaystyle{ f,g: \RR \to \RR\setminus \{ 0,1 \}}\) spełniają dla każdego \(\displaystyle{ x\in \RR}\) równości
\(\displaystyle{ f(x+1)=\frac{g(x)}{f(x)} \qquad \text{oraz} \qquad g(x+1)=\frac{g(x)-1}{f(x)-1}}\)
to są okresowe. 71(rozwiązane przez Wasilewskiego )
Ciąg \(\displaystyle{ (F_n)}\) jest określony następująco:
\(\displaystyle{ F_0=0 \quad F_1=1 \qquad F_{n+2}=F_{n+1}+F_n \quad \text{dla} n \ge 0.}\)
Oblicz granicę
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \left(\frac{1}{F_1 F_3} + \frac{1}{F_2 F_4} + \ldots + \frac{1}{F_n F_{n+2}} \right).}\) 72(rozwiązane przez mola_ksiazkowego i Sylwka )
Liczby całkowite \(\displaystyle{ n_1, n_2, \ldots , n_{100}}\) spełniają warunek
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n_1}} + \frac{1}{\sqrt{n_2}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{n_{100}}} = 20}\)
Udowodnij, że co najmniej dwie z nich są równe. 73(rozwiązane przez freja )
Liczby wymierne \(\displaystyle{ a,b}\) spełniają dla każdego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) równość
\(\displaystyle{ a^{2n+1} + b^{2n+1} = 2a^n b^n}\)
Udowodnij, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt{1-ab}}\) jest wymierna. 74(rozwiązane przez Wasilewskiego )
Oblicz
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{1^2+1}{\sqrt{1^4+4}} \cdot \frac{2^2+1}{\sqrt{2^4+4}} \cdot \cdots \frac{n^2+1}{\sqrt{n^4+4}}}\) 75(rozwiązane przez klaustrofoba )
Oblicz \(\displaystyle{ f(1)+f(3)+f(5)+\ldots + f(999999)}\), jeśli
\(\displaystyle{ f(n)=\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+2n+1}+\sqrt[3]{n^2-1}+\sqrt[3]{n^2-2n+1}} \qquad \text{dla każdego } n=1,2,3,\ldots}\) 76(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Rozstrzygnij, która z dwóch liczb dodatnich \(\displaystyle{ a,b}\) jest większa, jeżeli wiadomo, że spełniają one dla pewnego naturalnego \(\displaystyle{ n}\) warunki
\(\displaystyle{ a^n=a+1 \qquad \text{oraz} \qquad b^{2n}=b+3a}\)
77(rozwiązane przez klaustrofob)
Dane są takie liczby naturalne \(\displaystyle{ a,b}\), że suma \(\displaystyle{ \frac{a^2-1}{b+1}+\frac{b^2-1}{a+1} \in \mathbb{Z}}\)
Udowodnij, że \(\displaystyle{ \frac{a^2-1}{b+1}}\), \(\displaystyle{ \frac{b^2-1}{a+1}}\) również są całkowite. 78(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ x,y}\) sa takimi liczbami całkowitymi, dla których liczba \(\displaystyle{ 2xy|x^2+y^2-x}\), to \(\displaystyle{ x}\) jest kwadratem liczby całkowitej. 79(rozwiązane przez taka_jedna)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ p,q}\) są takimi liczbami pierwszymi, dla których liczba \(\displaystyle{ \sqrt{p^2+7pq+q^2}+\sqrt{p^2+14pq+q^2}}\) jest całkowita, to \(\displaystyle{ p=q}\) 80(rozwiązane przez freja )
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi nierówność
\(\displaystyle{ \left( 2n^2+3n+1 \right) ^n \ge 6^n \left( n! \right)^2}\) 81(rozwiązane przez bosa_Nike i klaustrofoba)
Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ 3^n+2\cdot 17^n}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej dla żadnego całkowitego \(\displaystyle{ n\ge 0}\) 82 (rozwiązane przez Dumla)
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ xyz=1}\). Udowodnij, że
\(\displaystyle{ x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx \ge 2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \right)}\) 83 (rozwiązane przez Dumla)
Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich \(\displaystyle{ a_1, a_2, a_3, \ldots , a_n}\) zachodzi nierówość
\(\displaystyle{ \left(\prod_{i=1}^n \prod_{j=1}^{n} \left(1+\frac{a_i}{a_j} \right) \right)^\frac{1}{n}\ge 2^n}\)
84 (rozwiązane przez kluczyka i mola_ksiazkowego)
Niech \(\displaystyle{ a,b,c,d,p,q}\) będą takimi liczbami naturalnymi, że \(\displaystyle{ \; ad-cb=1 \quad \text{oraz} \quad \frac{a}{b} > \frac{p}{q} > \frac{c}{d}}\)
Udowodnij, że
\(\displaystyle{ (i) \quad \ q\ge b+d}\)
\(\displaystyle{ (ii) \quad \text{jeżeli } \: q=b+d \text{, to } p=a+c}\) 85(rozwiązane przez bosa_Nike)
Rozwiąż w liczbach całkowitych równanie \(\displaystyle{ 5(xy+yz+zx)=4xyz}\)
86(rozwiązane przez tkrass)
Wewnątrz koła o średnicy \(\displaystyle{ 5}\) obrano \(\displaystyle{ 10}\) różnych punktów. Udowodnij, że pewne dwa z nich są odległe od siebie o mniej niż \(\displaystyle{ 2}\). 87(rozwiązane przez bosa_Nike i freja)
Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) są dodatnie, to
\(\displaystyle{ \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \le \frac{a^2}{b^2} + \frac{b^2}{c^2}+ \frac{c^2}{a^2}}\) 88(rozwiązane przez bosa_Nike )
Liczby dodatnie \(\displaystyle{ x,y,z}\) spełniają warunek \(\displaystyle{ xyz=1}\). Wyznacz wartość sumy
\(\displaystyle{ \frac{x+1}{xy+x+1} + \frac{y+1}{yz+y+1} + \frac{z+1}{zx+z+1}}\) 89(rozwiązane przez azonips i limes123
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f: \RR_{+} \to \RR_{+}}\) spełniające dla wszystkich \(\displaystyle{ x>0}\) równanie \(\displaystyle{ f(f(x))+f(x)=6x}\) 90(rozwiązane przez Sylwka)
Niech \(\displaystyle{ \qquad S_n=\frac{\sin^{2n+2} \alpha }{\sin^{2n} \beta} + \frac{\cos^{2n+2} \alpha }{\cos^{2n} \beta}}\)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ S_k=1}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k}\), to \(\displaystyle{ S_n=1}\) dla \(\displaystyle{ n=1,2,3,\ldots}\) 91(rozwiązane przez paladina)
Funkcje \(\displaystyle{ f,g: \RR\to \RR}\) są różniczkowalne w \(\displaystyle{ \RR}\), nie są stałe i spełniają dla wszystkich \(\displaystyle{ x,y \in \RR}\) równości
\(\displaystyle{ f(x+y)=f(x)f(y)-g(x)g(y)}\)
\(\displaystyle{ g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y)}\)
Udowodnij, że jeżeli \(\displaystyle{ f' (0)=0}\) , to \(\displaystyle{ \left( f(x) \right)^2+\left( g(x) \right)^2\equiv 1}\) 92 ( rozwiązane przez Wasilewskiego )
Rozwiąż w liczbach dodatnich układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_1+x_2+\ldots x_n=\frac{1}{4} \\ \frac{1}{x_1}+\frac{4}{x_2}+\ldots + \frac{n^2}{x_n}=n^2(n+1)^2 \end{cases}}\) 93(rozwiązane przez ojciec_kogut)
Udowodnij, że jeżeli liczby \(\displaystyle{ a_1, a_2, \ldots , a_n}\) są nieujemne, to
\(\displaystyle{ \frac{a_1^2+a_2^2+\ldots + a_n^2}{n} \le \left( \frac{a_1+a_2+\ldots a_n}{n} \right)^2 + \frac{1}{4} \left( \max_{ 1\le i \le n} \{ a_i \} \right)^2}\)

94(rozwiązane przez losiu99)
Liczby \(\displaystyle{ a,b,c}\) parami różne, są różne od zera i spełniają warunek \(\displaystyle{ a+b+c=0}\). Wykaż, że
\(\displaystyle{ \left(\frac{a-b}{c^2} + \frac{b-c}{a^2} + \frac{c-a}{b^2} \right) \left( \frac{c^2}{a-b} + \frac{a^2}{b-c} + \frac{b^2}{c-a} \right) = 4abc \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)^3}\) 95(rozwiązane przez mola_ksiazkowego)
Niech \(\displaystyle{ p}\) będzie liczbą pierwszą. Oblicz sumę wszystkich ułamków nieskracalnych o mianowniku \(\displaystyle{ p}\) należących do przedziału \(\displaystyle{ (a,b)}\) , gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) są liczbami naturalnymi. 96(rozwiązane przez bosa_Nike )
Rozwiąż w liczbach rzeczywistych równanie
\(\displaystyle{ (16x^{200}+1)(y^{200}+1)=16(xy)^{100}}\) 97(rozwiązane przez Sylwka)
Udowodnij, że jeżeli funkcja \(\displaystyle{ f}\) spełnia dla każdego \(\displaystyle{ x\in \mathbb{R}}\) równość
\(\displaystyle{ \sqrt{2} f(x+1)=f(x+2)+f(x)}\), to jest okresowa. 98(rozwiązane przez Sylwka )
Rozwiąż w liczbach całkowitych
\(\displaystyle{ \left[ \frac{x}{1!} \right] + \left[ \frac{x}{2!} \right] + \ldots + \left[\frac{x}{10!} \right] =1001}\)
99(rozwiązane przez Wasilewskiego)
(a) Wykaż, że istnieje liczba nieparzysta \(\displaystyle{ n}\), dla której przy żadnym naturalnym parzystym \(\displaystyle{ k}\) żadna liczb ciągu
\(\displaystyle{ k^k+1 \quad k^{k^k} + \quad k^{k^{k^k}} +1 \quad \ldots}\)
nie dzieli się przez \(\displaystyle{ n}\).

(b) Udowodnij, że dla każdej naturalnej \(\displaystyle{ n}\) istnieje taka liczba naturalna \(\displaystyle{ k}\), że wszystkie wyraz ciągu
\(\displaystyle{ k+1 \quad k^k+1 \quad k^{k^k}+1 \quad \ldots}\)
są podzielne przez \(\displaystyle{ n}\)
100(rozwiązane przez Sylwka)
Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej nieparzystej \(\displaystyle{ n>1}\)
\(\displaystyle{ n| (2^2-1)(2^3-1)(2^4-1)\ldots (2^{n-1}-1)}\)
W razie znalezienia jakiś błędów, np. źle coś przepisałem albo może gdzieś w tych zadaniach jest błąd w książce ( co niestety zdarza się dość często ), proszę mnie o tym powiadomić, może być post lub PW. Niektóre z zadań zapisałem w trochę innej formie, aby nie mieć problemów z \(\displaystyle{ \LaTeX -em}\), co nie zmienia jednak sensu zadania. Życzę miłego rozwiązywania
Możliwości techniczne forum sprawiły, że należy podzielić ten post na dwie części, gdyż post był zbyt obszerny. W tym poście można oglądać rozwiązania zadań od pierwszego do setnego, które zostały przedstawione poniżej przez różnych użytkowników. Rozwiązania zadań od numeru \(\displaystyle{ 101}\) do numeru \(\displaystyle{ 205}\) znajdują się na stronie 7 tego tematu. Gdyby ktoś nie zauważył jest to post nr 19 od góry strony licząc.

LINK do drugiej części

LISTA BŁĘDNYCH ZADAŃ
3 poprawiono
55 poprawiono
67 poprawiono
112 poprawiono
132 tu potrzebne są jeszcze małe dodatkowe założenia
144 poprawiono
169 poprawiono
183 poprawiono
192 poprawiono

Mhm chęci dobre, ale...
Nie jestem pewien czy wklepywanie tutaj tych zadań jest na miejscu. Choć sam nie jestem zwolennikiem własności intelektualnej ani prawa jej chroniącego w takim wymiarze, w jakim jest ono obecnie zdefiniowane, ale zdaje mi się, że pan Pawłowski nie byłby zachwycony gdyby teraz wszedł na forum...
Jeśli już chcesz to zamieścić na forum to wcześniej trzeba było wysłać maila do ww. pana. Pozostawienie tego tematu w takiej, a nie innej formie grozi odpowiedzialnością prawną zarówno forum jak i autora...
Pozdrawiam
Piotr Rutkowski

Pod warunkiem jeszcze, że zadania te są "własnością" Pana Pawłowskiego.
A coś takiego jest dość trudno definiowalne. Jedynym problemem jest fakt, że ów Pan napracował się w szukaniu takich zadań, wybrał najciekawsze z nich i opublikował, więc bierze w pewnym sensie za nie "odpowiedzialność".
Z drugiej strony jeśli książka nie jest już dostępna w księgarniach to problem wyjaśnia na korzyść Freja.
Mimo wszystko napisałbym maila do autora, bo znając historie o nim, to nie sądzę, by się nie zgodził.
Albo może jakieś wznowienie się pokaże.
Taki poważny portal matematyczny, za jaki chcemy uchodzić powinien nawiązywać choćby tak drobną współpracę z tuzami światka matematycznego w Polsce.

Hm, ale czy wrzucenie takiego "zbioru" zadań różni się znacznie od przepisania pojedynczych i powrzucania ich do odpowiednich działów? Przecież dużo osób, gdy ma problemy z zadaniem z jakiejś książki, wrzuca je na forum. Gdyby pozbierać wszystkie tak przepisane zadania, to pewnie można by z tego niejeden zbiór zadań utworzyć
Więc wydaje mi się, że albo frej'owi nie można niczego zarzucić, albo można mieć zarzut to znacznej części forum
Ale ja się nie znam, tak tylko "głośno myślę"

tez nie mam zastrzeżeń bo raz ze H. Pawłowski nie ponosi strat bo KMDO to pozycja archiwalna, dwa ze frej nie czerpie zyskow z tego topica (przynajmniej tak mi sie wydaje ) a trzy- to co napisal patry93. a tymczasem:

W ogólności mam takie pytanie. Jak oceniacie trudność tego suplementu? Bo mi się zawsze wydawało, że jestem głąbem, że nie potrafię niektórych zrobić. Czy jest trudniejszy powiedzmy od zadań z niebieskiego pawłowskiego?

Ok, żeby nie było niejasności.

Pan Henryk Pawłowski zgodził się na umieszczenie tych zadań tutaj. Jest jeszcze jedna sprawa, o której prosił mnie, żebym wspomniał. Błędy w tej książce są liczne, wynikają one z faktu, iż wydawca nie dał tej książki nikomu do recenzji i korekty przed drukiem Ponieważ książka jest bardzo deficytowym towarem, a wiele osób chciałoby ją mieć, wydanie "Kółka matematycznego dla olimpijczyków" będzie wznowione - poprawione i rozszerzone. Powstanie druga część tej książki poświęcona głównie geometrii.



Wracając do zadań, życzę miłego rozwiązywania

1.

frej pisze:Ok, żeby nie było niejasności.

Pan Henryk Pawłowski zgodził się na umieszczenie tych zadań tutaj. Jest jeszcze jedna sprawa, o której prosił mnie, żebym wspomniał. Błędy w tej książce są liczne, wynikają one z faktu, iż wydawca nie dał tej książki nikomu do recenzji i korekty przed drukiem Ponieważ książka jest bardzo deficytowym towarem, a wiele osób chciałoby ją mieć, wydanie "Kółka matematycznego dla olimpijczyków" będzie wznowione - poprawione i rozszerzone. Powstanie druga część tej książki poświęcona głównie geometrii.



Wracając do zadań, życzę miłego rozwiązywania

To super
Tylko kiedy?

Nie wiem dokładnie, ale chyba warto poczekać.

Bardzo mi miło, że się nie myliłem.
Proponuję jeszcze, gdy zadania stąd zostaną rozwiązane, najlepsze rozwiązania podesłać Panu Pawłowskiemu, być może będzie chciał je wykorzystać w nowym wydaniu.

No to może zadanie 21.: Jeszcze jedno:

tak nawiasem mowiac (wlasciwie to piszac) to wolalbym frej abys pisal "rozwiazanie Dumla" niż Dumela

W takim razie świetnie, może wszyscy pomożemy w skonstruowaniu nowego KMDO
Odnośnie suplementu, to zadania są tu niezwykle zróżnicowane, zdarzają się i banalne, i bardzo trudne...