Matematyka.pl

Wczoraj zakończył się obóz organizowany przez KGOM, z założeń trening przed IMO (które jest już za niecałe 3 tygodnie)
Zadania były w moim odczuciu ciekawe, więc wrzucę, miłej kminy:
Każdego dnia po trzy zadania, uszeregowane trudnością (z grubsza jak na IMO)


Dzień pierwszy

1.
Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie zbiorem n-elementowym, a \(\displaystyle{ P(S)}\) niech oznacza rodzinę podzbiorów \(\displaystyle{ S}\). Funkcja \(\displaystyle{ f:P(S) \rightarrow R}\) spełnia warunek \(\displaystyle{ f(X \cap Y) = min(f(X),f(Y))}\) dla dowolnych \(\displaystyle{ X,Y \subset S}\). Wyznaczyć największą możliwą moc zbioru wartości funkcji \(\displaystyle{ f}\).

2.
Wyznaczyć wszystkie skończone zbiory \(\displaystyle{ S}\) punktów na płaszczyźnie, spełniające następujące warunki:
(i) nie wszystkie punkty ze zbioru \(\displaystyle{ S}\) leżą na jednej prostej
(ii) dla dowolnych różnych punktów \(\displaystyle{ A,B,C \in S}\) istnieje taki punkt \(\displaystyle{ D \in S}\), że \(\displaystyle{ A,B,C,D}\) są w pewnej kolejności wierzchołkami równoległoboku.

3.
Dany jest ciąg (\(\displaystyle{ a_n}\)) spełniający warunki
\(\displaystyle{ a_0 = 4}\)
\(\displaystyle{ a_{n+1} = a_n^2 - 2}\).
Udowodnić, że \(\displaystyle{ a_{n+1} > 2 \sqrt{3} a_n...a_1a_0}\).


Dzień drugi

4.
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n takie, dla których istnieją \(\displaystyle{ a,b \in Q-Z}\), że \(\displaystyle{ a+b \in Z}\) oraz \(\displaystyle{ a^n + b^n \in Z}\)

5.
Dany jest nierównoramienny ostrokątny trójkąt ABC. D,E - spodki wysokości opuszczonych odpowiednio z B i C, H-ortocentrum. Prosta zawierająca dwusieczną kąta EHB przecina boki AB i AC odpowiednio w punktach P,Q. N - środek odcinka BC. R - przecięcie dwusiecznej kąta BAC z prostą HN. Udowodnić, że A,P,R,Q leżą na jednym okręgu.

6.
Dana jest grupa \(\displaystyle{ n}\) osób, wśród których niektóre się znają. Niech \(\displaystyle{ k \ge 2}\) będzie ustaloną liczbą naturalną. Wiadomo, że wśród dowolnych \(\displaystyle{ k}\) osób pewne dwie się znają. Udowodnić, że można posadzić wszystkich przy nie więcej niż \(\displaystyle{ k-1}\) okrągłych stolikach tak, aby każdy siedział obok swoich znajomych. Uwaga: przy stoliku może też siedzieć jedna lub dwie osoby.


Dzień trzeci

7.
Dane są liczby całkowite \(\displaystyle{ a,b,x,y}\) takie, że \(\displaystyle{ a^2 + b^2 | ax+by}\). Udowodnić, że liczby \(\displaystyle{ a^2 + b^2}\) i \(\displaystyle{ x^2+y^2}\) nie są względnie pierwsze.

8.
W trójkącie ostrokątnym ABC obrano taki punkt P, że \(\displaystyle{ \sphericalangle PCA = \sphericalangle PAB}\) oraz \(\displaystyle{ \sphericalangle PCB = \sphericalangle PBA}\). Punkt Q leży na prostej AB i spełnia warunek QP=QC. O - środek okręgu opisanego na ABC. Wykazać, że \(\displaystyle{ \sphericalangle CQP = 2 \sphericalangle OQA}\).

9.
Wyznaczyć wszystkie liczby naturalne n, dla których istnieją dwa różne niemalejące ciągi liczb całkowitych (można rozwiązać trudniejszą wersję - rzeczywistych) \(\displaystyle{ a_1, a_2, ..., a_n}\) i \(\displaystyle{ b_1, b_2, ..., b_n}\) dla których ciąg
\(\displaystyle{ a_1+a_2,a_1+a_3,...a_1+a_n, a_2+a_3,... a_2+a_n,...a_{n-1}+a_{n}}\) jest permutacją ciągu
\(\displaystyle{ b_1+b_2,b_1+b_3,...b_1+b_n, b_2+b_3,... b_2+b_n,...b_{n-1}+b_{n}}\).


Dzień czwarty, próbne IMO

IMO1.
Dany jest czworokąt wypukły ABCD. Na boku AB wybrano dwa różne punkty P,Q takie, że AP=BQ. Okręgi opisane na trójkątach APD i QBD przecinają się w punktach D i K, a okręgi opisane na trójkątach APC i QBC przecinają się w punktach C i L. Udowodnić, że C,D,K,L leżą na jednym okręgu.

IMO2.
Wyznacz wszystkie funkcje \(\displaystyle{ f:Z \rightarrow Z}\) spełniające dla dowolnych \(\displaystyle{ m,n \in Z}\)
równość
f(m-n+f(n)) = f(m) + f(n).

IMO3.
Dana jest liczba pierwsza \(\displaystyle{ p>3}\). Udowodnij, że liczba
\(\displaystyle{ x^{p-1} + x^{p-2} + ... + x + 2}\) nie jest kwadratem liczby całkowitej dla żadnego \(\displaystyle{ x \in Z}\).


Dzień piąty, próbne IMO

IMO4.
W pola tablicy nxn wpisano liczby rzeczywiste. Niech \(\displaystyle{ a_{ij}}\) oznacza liczbę stojącą na przecięciu i-tego wiersza i j-tej kolumny. Udowodnić, że
\(\displaystyle{ n \left( \sum_{i=1}^{n} \left( \sum_{j=1}^{n}a_{ij} \right)^2 + \sum_{j=1}^{n} \left( \sum_{i=1}^{n}a_{ij} \right)^2 \right) \le \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \right) ^2 + n^2 \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} ^2}\)

IMO5.

W turnieju ping-ponga każdy gracz rozegrał z każdym innym dokładnie jeden mecz, nie było remisów. Czwórkę graczy nazwiemy nierozstrzygniętą, gdy w meczach pomiędzy tą czwórką pewnych trzech graczy wygrało po dwa mecze. Niech \(\displaystyle{ w_i}\) oznacza liczbę wygranych i-tego gracza, a \(\displaystyle{ l_i}\) liczbę przegranych i-tego gracza. Przypuśćmy, że żadna czwórka nie jest nierozstrzygnięta. Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sum_{i}^{} (w_i - l_i)^3 \ge 0}\).

IMO6.

Dany jest okrąg o środku I i dwa punkty A,B na tym okręgu. Styczne w punktach A i B przecinają się w punkcie X. Punkt C leży na łuku AB zawartym w trójkącie ABX, przy czym AC \(\displaystyle{ \neq}\) BC. Prosta AC przecina BX w punkcie D, a prosta BC przecina AX w punkcie E. Wykazać, że środki okręgów opisanych na trójkątach AEC, DBC i CXI leżą na jednej prostej.

Powodzenia.

5

fajne, szkic mojego:

8

-- 27 cze 2011, o 15:50 --

2 -- 27 cze 2011, o 15:54 --

IMO 1
.


-- 27 cze 2011, o 16:17 --

Imo 6

Jak dla mnie to pierwsze by szło jakoś tak:

@pyzol, intuicja dobra, ale to jest cholernie trudno sformalizować. Lepiej pomyśleć nad zgrabniejszym i bardziej ścisłym rozwiązaniem.
@Burii, w IMO1 zostałeś ścięty do sześciu za konfiguracje trzeba pokazać, że K i L nie mogą leżeć po różnych stronach prostej AB.
IMO6 - może zrób po ludzku oO (i właściwie nigdzie nie napisałeś co to jest punkt O)

O to ten punkt w zadaniu:D

1. Sformalizuję może to, co napisał pyzol:

W siódmym a oraz b nie mogą być zerowe, nie? (kontrprzykład: a=3, b=0, x=3, y=1)

Zarówno do zad.7 i zad.8 już zostały napisane rozwiązania, ale moje sposoby wydają mi się dość interesujące, zatem też je napiszę.

Skoro nikt jeszcze nie przedstawił dowodu do IMO4, to pokażę swój (ale nie krępujcie się, chętnie zobaczę coś lepszego)

imo 2

Zadanie 9 jest zaiste za***iste . Zrobiłem już trochę z tych zadań i 3, które mi się najbardziej podobają to 3 zadania z 3 dnia . Moje rozwiązanie 9 może przerazić wyglądem, ale zachęcam do tego, aby się go nie przestraszyć ; p.

imo 6 szkic ludzkiego rozwiązania ;p

Zadanie dziewiąte rozwiązane sto razy krócej, chociaż to jest czysta magia: (to działa dla całkowitych, dla rzeczywistych wystarczy uderzyć jakąś bazą nad Q)