Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Oczywiście, że można tak ułożyć kamienie domina (na \(\displaystyle{ 5^2 \cdot 26! \cdot 2^{26-7}+2 \cdot 5 \cdot 26! \cdot 2^{26-6}+ 26! \cdot 2^{26-5}}\) sposobów).
Możliwe, że chodzi o ułożenie zgodne z zasadami gry w domino (w obu znanych mi wersjach: liczba oczek na stykających się połówkach kamieni jest taka sama, liczba oczek na stykających się połówkach kamieni wynosi 6), a wtedy taki układ nie jest możliwy (bo stykające się połówki kamieni tworzą pary, więc i końcówki ciągu kamieni też muszą tworzyć parę).
Gdyby to rozwiązanie było poprawne to \(\displaystyle{ a_3=17}\) , podczas gdy w rzeczywistości \(\displaystyle{ a_3=16}\) ,
Skłaniam się do : \(\displaystyle{ S_{n+1}=3S_{n}-2s_{n-1}+S_{n-2} \ \ dla \ \ n \ge 2, \ \ S_{1}=3 , \ S_{2}=7, \ S_3=16}\)
Załóżmy, że mamy trójkąt o długościach boków a, b i c, który spełnia warunek bycia trójkątem pitagorejskim pierwotnym, czyli a i b są względnie pierwsze.
Promień koła wpisanego w ten trójkąt można wyrazić wzorem:
\[ r = \frac{a \cdot b \cdot c}{4S}, \]
gdzie S oznacza pole trójkąta. Ponieważ trójkąt jest pitagorejski to pole można obliczyć jako \(S = \frac{ab}{2}\). Wstawiając to do wzoru na promień:
\[ r = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot \frac{ab}{2}} = \frac{c}{2}. \]
To oznacza, że promień koła wpisanego jest równy połowie długości boku c.
Teraz możemy zauważyć, że promień koła wpisanego w trójkąt o długościach boków a, b i c, który spełnia warunek trójkąta pitagorejskiego pierwotnego, jest zawsze liczbą wymierną (bo połowa liczby wymiernej jest zawsze liczbą wymierną). Z tego wynika, że promień koła wpisanego musi być liczbą wymierną o stałym mianowniku.
Ponieważ mianownik promienia to 2 (czyli \(2^1\)), jest to potęga dwójki. Skoro promień koła wpisanego jest liczbą wymierną o potędze dwójki jako mianowniku, to liczba trójkątów spełniających te warunki dla danej średnicy koła wpisanego jest również potęgą dwójki.