[MIX] Mix zimowo wiosenny

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

[MIX] Mix zimowo wiosenny

Post autor: mol_ksiazkowy »

1. Każdy punkt sfery jest biały lub czarny. Udowodnić, że istnieje trójkąt równoboczny o jednokolorowych wierzchołkach na tej sferze.
2. Czy można ułożyć w jednym ciągu wszystkie 28 kamyków domina i w ten sposób, aby na jednym końcu było sześć oczek, a na drugim pięć ?
3. \(\displaystyle{ nk}\) pracowników wydziału jest podzielonych na \(\displaystyle{ n}\) komitetów po \(\displaystyle{ k}\) osób i na \(\displaystyle{ n}\) kół naukowych po \(\displaystyle{ k}\) osób każde. Wykaż, że da się wysłać delegację \(\displaystyle{ n}\) osób tak, by każdy komitet i każde koło naukowe było reprezentowane.
4. Wyznaczyć taką liczbę całkowitą dodatnia \(\displaystyle{ x}\), iż \(\displaystyle{ \frac{1}{a+ \frac{1}{a+ \frac{1}{x}}} = \frac{19}{63}}\) przy czym \(\displaystyle{ a}\) jest liczbą całkowitą dodatnią.
5. Trójkąt pitagorejski nazywamy pierwotnym, gdy jedynym wspólnym dzielnikiem długości jego boków jest \(\displaystyle{ 1}\). Udowodnić, że liczba trójkątów pierwotnych o ustalonej średnicy koła wpisanego w ten trójkąt jest potęgą dwójki.
6. Formuła Eulera
Niech \(\displaystyle{ m,n}\) będą liczbami naturalnymi takimi, że
\(\displaystyle{ \begin{cases} p =2^m(2^{n-m}+1) - 1 \\ q=2^n(2^{n-m}+1)-1 \\ r = 2^{m+n}(2^{n-m}+1)^2 - 1 \end{cases} }\)
są liczbami pierwszymi.
Udowodnić, że wtedy \(\displaystyle{ X=2^{n}pq}\) i \(\displaystyle{ Y=2^{n}r }\) są zaprzyjaźnione.

7. Ile jest słów zbudowanych z \(\displaystyle{ n }\) liter nad alfabetem \(\displaystyle{ \{ a, b, c \} }\) takich, że
i) nie ma żadnej z sekwencji \(\displaystyle{ ab, bc; }\)
ii) nie ma żadnej z sekwencji \(\displaystyle{ aa, bb, cc; }\)
iii) nie ma sekwencji \(\displaystyle{ abc .}\)
* są to osobne zadania
8. Nieśmiertelny konik polny skacze po osi liczbowej, zaczynając od \(\displaystyle{ 0}\). Długość \(\displaystyle{ k}\)-tego skoku wynosi \(\displaystyle{ 2^k + 1}\). Konik sam decyduje, czy skoczy w prawo czy w lewo. Czy jest możliwe, aby każda liczba całkowita została w pewnym momencie odwiedzona przez konika polnego? Konik polny może odwiedzić pewną liczbę więcej niż raz.
9. Dany jest ciąg
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_0=1 \\ a_{n+1} = \frac{2a_n}{2+ \sqrt{4-a_n^2}} .\end{cases}}\)
Udowodnić, że ciag \(\displaystyle{ 2^{n}a_n }\) jest rosnący i wyznaczyć jego granicę.
10. Udowodnić, ze każdy turniej ma króla.
Król to taki uczestnik turnieju \(\displaystyle{ X}\), który wygrał z każdym bezpośrednio bądź pośrednio, tj. jeśli nie wygrał z jakimś \(\displaystyle{ Z}\), to istnieje \(\displaystyle{ Y}\) taki, że \(\displaystyle{ X}\) wygrał z \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Y}\) wygrał z \(\displaystyle{ Z}\).

11. Rozwiązać równanie funkcyjne \(\displaystyle{ f(x)^2 f (\frac{1-x}{1+x}) =x }\) dla \(\displaystyle{ x \neq -1. }\)
12. Wewnątrz czworokąta wypukłego, którego wszystkie boki są mniejsze od \(\displaystyle{ 24}\) wybrano dowolnie punkt; wykazać, że jego odległość od któregoś z wierzchołków czworokąta jest mniejsza niż \(\displaystyle{ 17}\).
13. Udowodnić, że dowolną liczbe naturalną \(\displaystyle{ m}\) można przedstawić na dwa różne sposoby w formie \(\displaystyle{ xy - x-y, }\) gdzie \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) są liczbami naturalnymi.
Np. gdy \(\displaystyle{ m=7, }\)
to \(\displaystyle{ (9,2)}\)
\(\displaystyle{ (3,5).}\)
Tym niemniej jeśli \(\displaystyle{ m=15, }\) to istnieją trzy rozwiązania
\(\displaystyle{ (2,17)}\)
\(\displaystyle{ (3,9)}\)
\(\displaystyle{ (5,5).}\)
Czy istnieją takie \(\displaystyle{ m}\), dla których jest ich dowolnie dużo (więcej niż ustalona liczba) ?

14. Ciąg okresowy
Każdy ciąg okresowy ma tę własność, że można z niego wybrać podciąg jemu równy, i to zarówno przez skreślenie w wyjściowym ciągu nieskończonej liczby wyrazów, jak i przez skreślenie skończonej liczby wyrazów Podobną własność ma też ciąg okresowy od pewnego miejsca
Czy istnieje ciag nieskończony i nieokresowy, nie będący też ciągiem okresowym od pewnego miejsca, z którego można wybrać podciąg jemu równy przez skreślenie nieskończonej liczby wyrazów?
To samo pytanie jeśli można skreślać skończoną ilość wyrazów.
15. Obliczyć pole figury
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^4+y^4 \leq 1 \\ x^3 \leq y^2. \end{cases}}\)
16. Wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ \frac{a}{b+c+d} >1}\) i \(\displaystyle{ \frac{d}{a+b+c} >1,}\) to \(\displaystyle{ \frac{a+d}{b+c} < 0 .}\)
--> trzy różne metody
17. Czy istnieje \(\displaystyle{ f}\) takie, że \(\displaystyle{ f( f(x)) = 1 + x^2}\) ?
18. Liczby naturalne \(\displaystyle{ x, y, p, n, k}\) spełniają warunki:
i) \(\displaystyle{ x^n+y^n=p^k,}\)
ii) \(\displaystyle{ n>1}\) i \(\displaystyle{ n}\) jest nieparzyste,
iii) \(\displaystyle{ p>2}\) jest liczbą pierwszą.
Udowodnić, że \(\displaystyle{ n}\) jest naturalną potęgą liczby \(\displaystyle{ p.}\)

19. Tożsamość
Wykazać, że
\(\displaystyle{ 4 \sin^2 (\frac{x}{2}) \sum_{k=1}^n k \cos(kx)=(n+1)\cos(nx)- n \cos((n+1)x) -1.}\)
20. Wykazać, że funkcja \(\displaystyle{ \cosh(z)}\) przyjmuje dowolną wartość zespoloną nieskończoną ilość razy.
21. Wyjaśnić ideę budowy ciagu \(\displaystyle{ 0, -1, -1, -1, 0, 2, 6, 13, ...}\)
22. Na ile sposobów można posadzić przy okrągłym stole \(\displaystyle{ n}\) par małżeńskich, tak aby każda żona miała swego męża przy sobie albo aby miała z nim wspólnego sąsiada ?
23. Ile co najmniej należy narysować okregów, tak aby każdy z dwudziestu pięciu punktów kratowych leżących w kwadracie o boku \(\displaystyle{ 4}\) był na jednym z nich ?
* Znaleźć uogólnienie dla \(\displaystyle{ (n+1)^2 }\) punktów kratowych.


24. Udowodnić nierówność dla liczb dodatnich
\(\displaystyle{ \frac{x+y}{y+z+t}+ \frac{y+z}{z+t+x}+ \frac{z+t}{t+x+y}+ \frac{t+x}{x+y+z} \geq \frac{8}{3} .}\)
24. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2+y+z = 2 \\ x+y^2+z =7 \\ x+y+z^2=6. \end{cases}}\)
25. Rozłożyć na czynniki \(\displaystyle{ x^{12}+4x^{11}+5x^{10}+4x^9 -4x^8 -20x^7 -25x^6 -20x^5 -x^4+16x^3 +20x^2+16x+4. }\)
26. Ile maksymalnie można narysować czworokątów, tak aby dowolne dwa miały wspólny bok ?
27. Prawie jak Fermat
Które z równań ma całkowitoliczbowe rozwiązania
i) \(\displaystyle{ x^{n-1}+ y^{n-1}= z^n}\)
ii) \(\displaystyle{ x^{n+1}+ y^{n+1}= z^n}\)
iii) \(\displaystyle{ x^{n-1}+ y^{n+1}= z^n}\)
?

28. Mając dane polimina \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\), gdzie \(\displaystyle{ Q \subset P}\), niech \(\displaystyle{ c(P, Q)}\) będzie liczbą składowych jakie zostaną, gdy z \(\displaystyle{ P }\) usunie się \(\displaystyle{ Q }\).
Niech \(\displaystyle{ f (k) = \max_{P} \min_{Q} \ c(P,Q)}\), gdzie maksimum jest wzięte po wszystkich poliminach, a minimum po tych które mają rozmiar \(\displaystyle{ k}\), np. \(\displaystyle{ f(2) \geq 3}\). Czy \(\displaystyle{ f}\) jest ograniczona ?

American Math Mountly

29. Rozwiązać układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2uv-xy=16 \\ xv-yu=12 \end{cases}}\)
w liczbach całkowitych.

30. Rysunek obok przedstawia układ pokoi w willi milionera pana Triangulakisa. Każdy z 25 trójkątnych pokoi ma drzwi do każdego z pokoi obok. Pokojówka ma codziennie sprzątać możliwie dużo pokoi, ale do żadnego nie może wchodzić dwukrotnie, a nawet nie ma prawa dwukrotnie przechodzić przez te same drzwi. Zacząć może, gdzie chce.
Ile pokoi musi pominąć?
--> D. G. Wells, Recreations in logic
rys.
Załączniki
Zrzut ekranu 2023-02-15 181229.jpg
Zrzut ekranu 2023-02-15 181229.jpg (6.85 KiB) Przejrzano 2229 razy
Ostatnio zmieniony 8 mar 2023, o 20:30 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Poprawa wiadomości. Interpunkcja.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: [MIX] Mix zimowo wiosenny

Post autor: a4karo »

4:    
Elayne
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 926
Rejestracja: 24 paź 2011, o 01:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 75 razy
Pomógł: 274 razy

Re: [MIX] Mix zimowo wiosenny

Post autor: Elayne »

Ad 4:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Mix zimowo wiosenny

Post autor: arek1357 »

11. dość fajne:
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Re: [MIX] Mix zimowo wiosenny

Post autor: mol_ksiazkowy »

11 cd
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Mix zimowo wiosenny

Post autor: Premislav »

19.:    
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Re: [MIX] Mix zimowo wiosenny

Post autor: mol_ksiazkowy »

19 cd
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Mix zimowo wiosenny

Post autor: arek1357 »

być może należy założyc też x≠1
To jest myśl
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Mix zimowo wiosenny

Post autor: Premislav »

24.:    
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: [MIX] Mix zimowo wiosenny

Post autor: Janusz Tracz »

11:    
17:    
19 trochę inaczej:    
20:    
21:    
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Mix zimowo wiosenny

Post autor: arek1357 »

W pierwszym wystarczy pokolorować punkty (wierzchołki) dwudziestościanu foremnego (wpisanego w sferę) dwoma kolorami i wtedy sześć będzie jednego koloru bo wierzchołków jest dwanaście a te sześć utworzą trójkąt równoboczny
Kartezjusz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7330
Rejestracja: 14 lut 2008, o 08:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 961 razy

Re: [MIX] Mix zimowo wiosenny

Post autor: Kartezjusz »

Zad 13
Co z liczbami postaci \(\displaystyle{ k= p-1}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą?
Ostatnio zmieniony 17 lut 2023, o 19:00 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 746 razy

Re: [MIX] Mix zimowo wiosenny

Post autor: mol_ksiazkowy »

13 cd
\(\displaystyle{ x = 2, \\ y=m+2}\) jak i \(\displaystyle{ x = m+2 , \\ y=2}\) są formalnie różne...
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

Re: [MIX] Mix zimowo wiosenny

Post autor: arek1357 »

Zad. 8 konik polny:
Ukryta treść:    
Dodano po 1 godzinie 15 minutach 36 sekundach:
zad. 7:
Ukryta treść:    
Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15685
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 195 razy
Pomógł: 5219 razy

Re: [MIX] Mix zimowo wiosenny

Post autor: Premislav »

16.:    
ODPOWIEDZ